第一章习题1．1 一人自愿点出发，25s 内向东走了30m ，又10s 内向南走了10m ，再15s 内向正西北走了18m 。

求：⑴ 位移和平均速度 ⑵ 路程和平均速率 解：由图所示，人的移动曲线是从O 点出发，到A 点，再到B 点，C 点。

⑴ 位移：OC30OA m = ，10AB m =，18BC m =由于是正西北方向，所以45ABD ADB ∠=∠=︒BD =(()(()222222cos 4518301021830102OC CD OD OD CD =+-︒=-+--⨯-⨯-⨯1324305.92=-≈ 17.5OC m ≈平均速度的大小为：()17.50.35m 50r v t ∆===∆ ⑵ 路程应为：58m s OA AB BC =++=平均速率为1.16m s 1．2有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为234.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度 ⑵ 第2秒末的瞬时速度 ⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为 ()212 2.50.5m s v x x =-=-=- ⑵ 第2秒末的瞬时速度为 ()22966m t dxv t t dt===-=-⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象） 当 1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m = 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，32x m =所以路程为：3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-= 1．3质点作直线运动，其运动方程为2126x t t =-，采用国际单位制，求：⑴ 4t s =时，质点的位置，速度和加速度⑵ 质点通过原点时的速度 ⑶ 质点速度为零时的位置⑷ 作位移，速度以及加速度随着时间变化的曲线图。

解：⑴ 由运动方程2126x t t =-，可得速度，加速度的表达式分别为1212dx v t dt ==- 12dv a dt==- 所以当4t s =时，质点的位置，速度和加速度分别为48m x =-；36m s v =-；212m a =-⑵ 质点经过原点的时刻12s t =，20s t =此时的速度分别为 ()112m v =- ()212m s v =⑶ 质点速度为零对应的1s t =，位置为6m x = 1．4质点沿直线运动，速度()3222m v t t =++，如果当2s t =时，4m x =，求3st =时质点的位置，速度和加速度。

解： 速度()3222m v t t =++，位置，加速度的表达式分别为()4332222243t t x t t dx t C =++=+++⎰ 当2s t =时，4m x =，即164443x C =+++=，可得283C =- 432282433t t x t =++-，234a t t =+当3s t =时，质点的位置，速度和加速度分别为81542824311262434.9m 43312x -=++-=+≈ ()22718247m s v =++= ()2271239m s a =+=1．5质点的运动方程为35x t =+，2234y t t =+-，采用国际单位制，试求：⑴ 1s t =和2s t =时刻的位置矢量及12t s = 内质点的位移⑵ t 时刻的速度和加速度⑶ 4s t =时质点运动速度和加速度的大小和方向解：⑴ 当1s t =时，18m x =，11m y =，所以1ˆˆ8r i j =+ 当2s t =时，111m x =，110m y =，所以2ˆˆ1110r i j =+质点的位移为21ˆˆ39r r r i j =-=+⑵ t 时刻的速度v 和加速度a分别为 ()3m s x dx v dt == ()43m s y dyv t dt==+ 0xx dv a dt == ()24m y y dv a dt == ()ˆˆ343v i t j =++ ()2ˆ4m s a j = ⑶ 4s t =时质点运动速度和加速度分别为()ˆˆˆˆ343319v i t j i j =++=+ 19.24m ≈2ˆ4jm s a =大小为24m 1.6 解：由加速度与时间的曲线图a t -可得到质点的运动情况为 10t t ≤≤ 为匀加速直线运动 12t t t ≤≤ 为匀速直线运动 2t t > 为匀加速直线运动根据上述分析可以得出速度和位移与时间有关的表达式，从而画出曲线。

1.7 解：质点的加速度()224m s a t =-，初始条件为09m t x==，02m t v==速度v 的表达式为()3200004243ttt v v adt v t dt t =+=+-=+-⎰⎰质点的运动方程x 为：3240000124922312ttt x x vdt x t dt t t t ⎛⎫=+=++-=++- ⎪⎝⎭⎰⎰1.8 证明：由题可知：2dv dxkv kv dt dt=-=- 所以有： d v k v d x =- 变换为：dvkdx v=- 两边同时积分就可得到：00v x v dv kdx v =-⎰⎰ 0ln vv v kx =- 即 0lnvkx v =- 所以有0k x v v e -= 1.9 解：炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴,x y 。

将初速度0v沿坐标轴分解可得0000cos sin x y v v v v θθ=⎧⎨=⎩ ⑴加速度g 沿坐标轴分解可得 sin cos x ya g a g αα=-⎧⎨=-⎩ ⑵在任意时刻t 的速度为 0000cos sin sin cos x x x yy y v v a t v gt v v a t v gt θαθα=+=-⎧⎨=+=-⎩ ⑶任意时刻t 的位移为 2200220011cos sin 2211sin cos 22x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧=+=-⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩ ⑷⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。

0y =对应的时刻02sin cos v t g θα=，代入可得()()2200222sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα-+==y g⑵ 将02sin cos v t g θα=代入方程组⑶可得00000002sin cos sin cos 2sin tan cos 2sin sin cos sin cos xy v v v g v v g v v v g v g θθαθθααθθαθα⎧=-=-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩速度的大小为v ==== 方向可以由 t a n 2t a n c o t y xv v βαθ==- ()arctan 2tan cot βαθ=-1.10 解：由于在忽略空气阻力的情况下，小球只受到重力的作用，做斜抛运动。

设球抛出时的初速度为0v，分量分别为0x v ，0y v 。

根据题意有：0 3.98m x x v v == x 轴做匀速直线运动在14.7m h =的高度，速度为()ˆˆ3.989.8m s v ij =+，由任意时刻速度与位移的公式可得：02012y y y v v gty v gt =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 代入数据可得0209.89.814.7 4.9y y v t v t =-⎧⎨=-⎩ ⑴xg通过解方程组⑴可得019.6m s y v =，1s t =⑴ 球能上升的总高度为max h ：20m a x 2y v g h -=- 代入数据可得：max 19.6m h = ⑵ 根据运动情况列出任意时刻的位移方程为02012x y x v t y v t gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩代入数据可得23.9819.64.9x t y t t =⎧⎨=-⎩ 当0y =时，14s t =，20s t =（舍去，因为对应的是抛出点） 所以得到射程 3.98415.92m x =⨯=⑶ 当小球落地时，在x 轴方向速度不变，y 轴方向的速度就变为19.6m s -，用矢量表示为()ˆˆ3.9819.6m v ij =-，大小为20m s ，方向可用方向余弦表示。

1.11 解：选坐标如图所示。

当螺帽自顶板松落时，底板坐标为0y 。

顶板与螺帽坐标为0y h +，经过时间t ，底板 与螺帽的坐标分别为1y ，2y ，由匀加速直线运动公式可得()210022001212y y v t at y y h v t gt ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩当螺帽落到地板上时，1y =2y ，则由上边两式可得： 22001122v t at v t gt h +=-+()212h a g t =+0.705s t ==≈ 220100110.72m 22d y h y gt v t h v t at =+-=-=--≈ 1.12 解：以l 表示从船到定滑轮的绳长，则0d lv d t=-，且s 于是得到船的速度为：()'12220ds v l h dt ⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦，负号表示船在水平方向向岸靠近。

加速度为：()''2222220000233dv a dt d l d t l v s v v s s h v h s s s s⎡⎤==⎛⎫=--+===- 1.13 解：角加速度2rad s d dtϖβπ== 初始条件为： 当0t =时，0ϖ= ⑴ d dt ϖβ=， 000ttdt dt t ϖϖβϖππ=+=+=⎰⎰第一秒末的角速度为 r a d s 3.14r a d sϖπ==⑵ 第一秒末的法向加速度2221098.6m s n a r ϖπ==⨯= 第一秒末的切向加速度21031.4m a r τβπ===⑶ 加速度的大小为2103.5m s a =≈方向：与τ轴的夹角为'arctanarctan 3.147220na a τα=== 1.14 解：324rad t θ=+，角速度为212rad s d t dtθϖ== 角加速度为224rad s t β= ⑴ 当2s t =时，248rad β= 2220.148230.4m sn a r ϖ==⨯=20.148 4.8m s a r τβ==⨯=⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为 ()222420.11214.4m sn a r t t ϖ==⨯= ()20.124 2.4m s a r t t τβ==⨯=总加速度与半径夹角为45时，n a a τ= 可得 310.1676t =≈，即 2.167rad θ=。