【详解】
经过第一次循环得到
经过第二次循环得到
经过第三次循环得到
经过第四次循环得到
经过第五次循环得到
经过第六次循环得到
此时，不满足判断框中的条件，执行输出
故输出结果为
故选： ．
【点睛】
本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．
7．在公差不等于零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 （）
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）先证明 平面 ，然后可得平面 平面 ；
（2）建立坐标系，根据二面角 的余弦值是 可得 的长度，然后可求直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】
（1） 平面 ， 平面 ，得 .
又 ，在 中，得 ，
设 中点为 ，连接 ，则四边形 为边长为1的正方形，所以 ，且 ，
若直线 与圆 相交，则 ，即 ，此时点 在圆 外.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
6．某程序框图如图所示，若输入的 ，则输出的值是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.
20．设 为抛物线 : 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ， 为 的中点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
2019届内蒙古包头市高三二模考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知 是虚数单位，复数 的共轭复数是（）
A． B． C．1D．-1
【答案】B
【解析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.
【详解】
因为 ,
所以共轭复数就是 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数 为奇函数排除 、 ；再根据函数的单调性排除选项 ，即可得到答案．
【详解】
根据题意得， 且函数 为奇函数，排除 、 ；
；
当 时， ，
令 ，
令 ，
函数 在 上是先递减再递增的，排除选项 ；
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
A．-2B．1
C．-1D．2
【答案】C
【解析】由平面向量模的运算可得： ，① ，②，则① ②即可得解．
【详解】
因为向量 ， 满足 ， ，
所以 ，①
，②
由① ②得：
，
即 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
4．定义运算 ，则函数 的大致图象是（）
16．若直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则 ______.
【答案】1
【解析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.
【详解】
设直线 与曲线 相切于点 ，直线 与曲线 相切于点 ，
则 且 ，解得 ；
同理可得 且 ，解得 ；
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
【详解】
因为 的展开式中的各项系数的和为1，
所以 ，即 ；
的通项公式为 ，
令 得 ，所以展开式中的常数项为 .
【点睛】
本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11．已知函数 ，则 的最大值为（）
A．1B． C． D．2
【答案】B
【解析】先化简函数 ，然后利用 解析式的特点求解最大值.
【点睛】
本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 的取值范围．
【详解】
作出 ， 满足约束条件，则 对应的平面区域（阴影部分），
（2）过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1） （2）32
【解析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得 ，则抛物线 的方程可求；（2）由已知直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ，与抛物线方程联立，求出 ， ，可得四边形 的面积，利用基本不等式求最值．
（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在 时产卵数的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和 ，模型①的相关指数 ；模型②的残差平方和 ，模型②的相关指数 ； ， ， ； ， ， ， ， ， ， ）
【答案】（1） ， （2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析
三、解答题
17．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ，求 和 ；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ， （2）
【解析】（1）利用已知条件求出 的余弦函数值，然后求解 的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．
【详解】
（1）因为 ，代入 ，得 ，
15．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 ______.
【答案】8
【解析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设等差数列的公差为 ，则 ，解得 ，
由 得 ，解得 .
故答案为：8.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由弧长公式可得 ， ，由异面直线所成角的作法可得 为异面直线 与 所成角，再求解即可．
【详解】
由弧长公式可知 ， ，
在底面圆周上去点 且 ，
则 面 ，
连接 ， ， ，
则
即 为异面直线 与 所成角，
又 ， ，
所以 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
该几何体的体积 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
10．若 的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）
A．672B．-672C．5376D．-5376
【答案】A
【解析】先根据 的展开式中的各项系数的和为1，求解 ，然后利用通项公式可得常数项.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以射线 ､射线 为 轴和 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， .
又设 ，则 ， ， ， ， .
由 且 知， 为平面 的一个法向量.
设 为平面 的一个法向量，则 ，
即 ，取 ， ，则 ，有 ，得 ，从而 ， .
【详解】
所以 ， ，由正弦定理得 ，
所以 ， .
（2）把余弦定理代入 ，得 ，
解得 .再由余弦定理得 .当且仅当 ，即 时， 取最小值 .
【点睛】
本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．
18．一只红玲虫的产卵数 和温度 有关.现收集了7组观测数据如下表:
2．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】先求解集合 ，然后根据 可求集合 的个数.
【详解】
因为 ， ，
所以集合 可能是 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3．设向量 ， 满足 ， ，则 （）
9．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【详解】
根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 、4，
由正视图知，三棱锥的高是4，
A．4B．18C．24D．16
【答案】D
【解析】根据 ， ， 成等比数列可求公差，然后可得 .
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即有 ，解得 ， （舍），
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
8．已知 ， 为椭圆 的左右焦点，点 在 上（不与顶点重合）， 为等腰直角三角形，则 的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】B