元素与集合（讲义）
➢ 知识点睛
一、集合的含义与表示
1. 用小写字母a ，b ，c ，…表示元素，用大写字母A ，B ，C ，…表示集合．元
素与集合的关系记作：a ∈A 或a ∉A ．
2. 集合中元素的特征：_________、_________、_________．
3. 常用的数集及其记法：
正整数集：____或____；自然数集（非负整数集）：_____；
整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____．
4. ⎧⎨⎩列举法集合的表示方法描述法
．
二、集合间的基本关系
三、空集
1. 记为_________．特征：______________、_____________．
2. 空集是任何集合的子集，即∅⊆A ；若A 非空，则∅⊂≠A ．
3. 研究含参集合间的基本关系时，要结合题目条件对含参集合是否为“∅”
进行分类讨论．
四、小结
1. 注意区别“∈”、“⊆”．
2. 辨识0，{0}，∅．
3. 假设集合A 中含有n 个元素，则
➢
1. 用适当的方法表示下列集合：
（1）绝对值小于3的整数组成的集合
（2）一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合
（3）二次函数y =x 2-4的函数值组成的集合
（4）坐标平面内第二象限的点组成的集合
2. 把下列由描述法表示的集合转化为列举法：
（1）{()|6}A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，；
（2）6{|
}3B x x x
=∈∈-N N ，；
（3）2{|6}C y y x x y ==-+∈∈N N ，，.
3. 用符号“∈”或“∉”填空：
（1）0____N ，π____Q ，sin 60°____Q ．
（2）3____{|x x x ∈Q |x <．
（3）若B ={x |x 2+x -6=0}，则-3___B ．
（4）(-1，1)____{y |y =-x ，x ∈R }，
0____{( x ，y ) |x 2+y 2=0，x ∈N ，y ∈N }．
4. 有下列命题：①{}∅是空集；②若a ∈N ，b ∈N ，则a +b ≥2；
③集合{x |x 2-2x +1=0}有两个元素；④集合B ={x |
100x
∈N ，x ∈Z }
为无限集，其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.已知集合
6
|
5
M a a
a
⎧⎫
=∈∈
⎨⎬
-
⎩⎭
N Z
且，则M =( )
A．{2，3} B．{1，2，3，4}
C．{1，2，3，6} D．{-1，2，3，4}
6.已知集合S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC
一定不是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
7.（1）若4∈{a2-3a，a}，则a=_________．
（2）设集合A={x，xy，xy-1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，则A中的元素之和为___________．
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R．
①若A是空集，则a的取值范围为___________；
②若A中只有一个元素，则a的值为_______；
③若A中至少有一个元素，求a的范围．
9.给出下列集合：
①A={(1，2)}，B={(2，1)}；
②A={1，a，b，c}，B={c，b，a，1}；
③A={3，2}，B={x|x2-5x+6=0}；
④A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1}；
⑤A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=x-1，x∈N}；
⑥A={x|x+y=1}，B={y|x+y=1}；
⑦A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}．
其中A，B表示同一集合的是_________________．（填写序号）
10.判断下列集合之间有怎样的包含或相等关系：
（1）A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}
（2）A={(x，y)|y=2x-1}，
21
()|
45
x y
B x y
x y
⎧-=⎫
⎧
⎪
=⎨⎨⎬
+=
⎩
⎪⎭
⎩
，
（3）A={y|-2<y<3}，B={x|-1<x<1}
（4）A={x|x=4m，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}
（5）A={x|x≥0}，B={y|y=x2-2x+1，x∈R}
11.下列关系式中：①∅=0；②0∉∅；③∅={0}；④{0}⊇∅；
⑤∅≠{∅}；⑥∅⊆{∅}；⑦∅∈{∅}，正确的是__________．
12.（1）若集合A={x|0≤x<3，x∈N}，则A的真子集的个数是（）
A ．16
B ．8
C ．7
D ．4
（2）集合A ={-1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
（3）已知集合A ={x |x 2-4x +3=0}，B ={x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13. （1）若集合{1，a ，
b a
}={0，a 2，a +b }，则a -b 的值为__________．
（2）设集合{28}A a =，，，2{234}B a a =-+，，且A ⊃≠B ，则a 的值为__________．
14. （1）已知集合A ={-1，1}，B ={x |ax +1=0}，若B ⊆A ，则实数
a 的所有可能取值的集合为____________．
（2）设A ={x |1<x <2}，B ={x |x -a <0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是___________．
【参考答案】
➢ 知识点睛
一、2．确定性，互异性，无序性
3．*N N N Z Q R +，；；；
； 三、∅，集合，不含任何元素
四、112n n n n 22- 2-2-，
，， ➢ 精讲精练
1. （1）{-2，-1，0，1，2}或{}x x x |||<3∈Z ，
（2）
3
{()|}
26
y x
x y
y x
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，或{(14)}
，
（3）{|4}
y y-
≥
（4）{()|}
x y x y
<0>0
，，
2.（1）A={(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，
(6，0)}
（2）B={0，1，2}
（3）C={6，5，2}
3.（1）∈∉∉
，，
（2）∉∉
，
（3）∈
（4）∉∉
，
4.A
5.D
6.D
7.（1）-1；（2）0
8.（1）
9
{|}
8
a a>；（2）{0，
9
8
}；（3）
9
{|}
8
a a≤
9.②③⑥⑦
10.（1）A D B C
⊆⊆⊆或A⊂≠D⊂≠B⊂≠C （2）A B
⊇或A⊃≠B
（3）A B
⊇或A⊃≠B
（4）A⊆B或A⊂≠B
（5）A=B
11.②④⑤⑥⑦
12.（1）C；（2）B；（3）D
13.（1）-1；（2）4或-1
14.（1）{0，1，-1}；（2）{|2}
a a≥。