第四讲函数的概念与表示一．知识归纳：1．映射（ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。
（ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。
注意：（ 1）对映射定义的理解。
（ 2）判断一个对应是映射的方法。
2．函数（ 1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。
②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。
注意：①C B; ② A,B,C 均非空（ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二．例题讲解：【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（）(A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)=a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x(C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3解答：选D点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。
变式：下列各对函数中，相同的是（ D ）(A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx(C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1, g(x)=vx 1 u 1【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。
（ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。
解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6精选或 7），第二步 A 中的元素 4 也有 3 种对应方法，故不同的映射个数有3× 3=9 个；反之从B 到 A ，道理相同，有 2× 2× 2=8 个。
（ 2）原象是 4。
点评： 计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。
变式 1：已知集合 M={1,2,3,m},N={4,7,n4,n 2+3n},m,n ∈ N * ,映射 f ： x → y=3x+1, 是从 M 到 N 的一个函数，则 m,n 的值分别为（ B ）（ A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6（D ）6，3变式 2：已知函数 y=f(x), (x ∈ [a,b]), 那么集合 {(x,y)|y=f(x),x ∈ [a,b]} ∩ {(x,y)|x=2} 中所含元素的个数是（）(A) 1(B) 0(C)0 或 1(D)1 或 2分析：本题首先要理解两个集合的意义， 这里实际上是函数y=f(x), (x ∈ [a,b]) 的图象与直线 x=2 的交点的个数，显然当 2∈ [a,b] 时由函数定义交点个数为1，当 2 [a,b] 时由函数定义交点个数为 0。
故选 C 。
点评：函数的三要素中定义域和对应法则决定值域，对应法则是核心， 它必须符合 “任一”、“唯一”的要求。
【例 3】已知 f(x)=2x - 1,g(x)=x 2 x 01 x,求 f[g(x)],g[f(x)]2 x 21 x 0(2x 1) 2 x1 解答： f[g(x)]=， g[f(x)]=23 x 01x12点评： 了解函数符号的意义，理解相互之间的关系；若函数f(x) 的定义域为 A ，则当f[g(x)] 中的 g(x) ∈ A 时， f[g(x)] 才有意义，因而求f[g(x)] 时，必须考虑 g(x) ∈ A 。
1x ( ,0)，求 f(x+1).变式： 已知 f(x)= xx 2x [0,)1 x(,1)解答： f(x+1)=x 1(x 1) 2 x[ 1,)【例 4】 (1)已知函数 f(1 -cos x)=sin 2x ，求 f(x);(2) 已知 3f(x)+5f(1 )=2x+1 ，求 f(x)x解答： (1) 令 1- cosx=t(0 ≤t ≤,则2) cosx=1- t,∴ f(1-cos x)=f(t)=sin 2x=1 - cos 2x=1 - (1- t)2=- t 2+2t,故 f(x)= - x 2+2x ( 0≤x ≤2)（ 2）由 3f(x)+5f( 1 )=2x+1 得 3f( 1 )+5f(x)= 2 +1，联立解得 f (x)5 3x1xxx8x 8 8点评： 函数 f(x) 的含义抽象，在函数的定义域与对应法则f 不变的条件下，可以变换精选自变量字母，以至变换为其它字母的代数式。
例如，f(x)=x 2+1 与 f(u+1)=(u+1) 2+1 应视为同一函数。
变式：设 f(x) 是定义在 R 上的函数，对一切x∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0 ，当 - 1<x≤ 1 时，f(x)=2x - 1, 求当 1<x≤ 3 时，函数 f(x) 的解析式。
解答：由 1<x≤ 3 得 - 1<x - 2≤ 1, ∵对一切x∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0 ，∴ f(x)= - f(x+2) ，故f(x - 2)=- f[(x - 2) +2]= - f(x) ；又 - 1<x- 2≤ 1 时， f(x - 2)= 2(x - 2)- 1=2x - 5，∴ f(x)= - f(x - 2)= - 2x+5 （ 1<x≤ 3）点评：将 1<x ≤ 3 转化成 - 1<x- 2≤ 1 再利用已知条件是解本题的关键。
4．函数的概念与表示复习题一、选择题：1．设 f 是从集合 A 到集合 B 的映射，下列四个说法：①集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象；②集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；③集合 A 中不同的元素在集合 B 中的象也不同；④集合 B 中不同的元素在集合 A 中的原象也不同，其中正确的是（）A．①和②B．②和③C．③和④ D ．①和④2 ．下列各组函数：①f ( x) x 2 ， g (x) x2 4x 4 ；② f (x) x2 1 ，x 1g( x) x 1；③ f ( x) x ，g( x) xxx 1, (x 0) ；④ f (x) 1 ，g (x)1, (x. x x 0)其中 f(x) 和 g(x) 表示同一个函数的是（）A．①B．①和②C．③D．④3．M={x|0 ≤ x≤ 2},N={y|0 ≤给y≤出的2}四个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的（）A．0 个 B.1个 C.2个 D.3个4．某物体一天中的温度是时间t 的函数； T(t)=t 3- 3t+60 ，时间单位是小时，温度单位为o C, t=0 表示 12∶ 00，其后 t 去值为正，则上午8 时的温度为（）A． 80O C B. 112O C C. 58O C D . 18O C5．函数 y=f(x+a) 与 y=f(x+b) (a ≠b)相比较下列说法正确的是（）A．定义域相同 B. 对应法则相同 C. 值域相同 D. 以上说法都不对精选x ,x ∈ [0,π]，则 f 1）6．若 f(cosx)= ( )等于（2 21 B.C.2 A ． cosD.23 437．设函数 f (x) f ( 1) lg x 1 ，则 f(10) 值为（）xA ． 1B.- 1C. 101D.108．已知集合 A={x|0 ≤ x ≤ 6} ，B={y|0 ≤ y ≤3} ，则下列对应关系 f 中，不能看成是从集合 A 到集合 B 的映射的是 （ ）A ． f ： xy1B ． f ： x1xxy23 C ． f ： xy xD ． f ： x1 xy6二、填空题9．已知 (x,y) 在映射 f 下的象是 (2x+y,x - 2y)，则 (1,3)在 f 下的原象是。
x 3 ,( x 0)10. 已知 f (x)2, ( x 0) 则 f(2)=， f( - 2)=， f[f( - 6)]。
0, ( x 0)x 1x ，则 f ( x).11．已知 f ()x1三、解答题12．若 f : y3x 1 是从集合 A= { 1,2,3, k} 到集合 B= { 4,7,a 4 , a 2 3a} 的一个映射， 求自然数 a 和 k 的值及集合 A 和 B.2x 3, (x 1),13．已知g( x)x 2 ,( 1 x 2),且 g(t )3 ， 求 t .3x 2, ( x 2),14． 已知 n N , f nn 2(n 10) , 求f 5 和 f 10 的值 .f f n 5 (n10)15. 根据下列条件，分别求出函数的解析式（ 1）已知 f x1 x 31, 求 f(x)xx 3精选（ 2）已知af x 1 ( , , , 0, a 2 b 2 ) ，求 f(x)bf cx a b c R abx（ 3）已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c 均为实数 )，满足 f( - 1)=0 ，对于任意实数x 都有f(x) ≥x，并且当 x∈(0,2)时， f(x) ≤(x1) 2 求 f(x) 的解析式。
44．函数的概念与表示复习题答案与提示一、 1． D2． A3． B4．A5． C 6.B7.A8.C精选二、 9．(1, 1) 10． 8， 0， 2 11．1 x(x 1)三、 12． a=2,k=5.A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}1 x13．当x 1, g(x) 2x 3 1；当 1 x 2, 0 x2 4 ；当x 2, g(x) 3x 2 4.g(t) 3, g(t) t 2 3, t 3. 3 ( 1,2), t 3.14． f 5 f f 10 f 10 2 f 8 f f 13 f 11 9 f 5 9f 0 f f 5 f f 11 f 9 f f 14 f 12 10 f 0 1215．（ 1）f x x3 3x x 2 （ 2）f x c ax ba 2b 2 x(3) f x 1 x 2 1 x 14 2 4提示：f( - 1)=0 a- b+c=0, 在 f(x) ≥x，∈ (0,2) 时，f(x) (x 1) 2≤中令 x=1 得 f(1)=a+b+c=1,4故 b=0.5=a+c,对于任意实数x 都有 f(x) ≥x ax2+(b- 1)x+c ≥0恒成立，所以 a>0,⊿ ≤ 0.(b- 1)2- 4ac≤0(a 1 )2 0 ,所以 a 14 4精选。