第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f (ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f (ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f (ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f (ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。

证： 设（α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。

设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1-＝（f1,f2,f3）011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。

当s ＝1时，f1≠0,所以∃α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。

假设当s=k 时命题成立，即∃α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。

若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定∃β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且fi(γ)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)f1k+(γ)＝cb≠0即证。

5．设α1，α2，…αs是线性空间V中得非零向量，试证：fi(αi)≠0 (i=1,2…,s)证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量α，则可定义V*的一个线性函数α**如下：α**(f)=f(α) (f∈V*)且α**是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的映射α→α**是一个同构映射，又因为α1，α2，…αs是V中的非零向量，所以α1**，α2**，…αs**对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，∃f∈V*使f(αi)＝αi**(f) ≠0 (i=1,2…,s)即证.6.设V＝P[x]3,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义f1(p(x))=1()p x dx⎰f2(p(x))=2()p x dx⎰f3(p(x))=1()p x dx-⎰试证f1， f2， f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使f 1， f2， f3是它的对偶基。

证：先证是V上线性函数，即f1∈V*，对∀g(x),h(x) ∈V, ∀k∈P,由定义有f1（g(x)＋h(x)）＝1(()())g x h x dx+⎰＝1()g x dx⎰＋10()h x dx⎰＝f1(g(x))+ f1(h(x))f1(kg(x))=1()kg x dx⎰=k10()g x dx⎰=k f1(g(x))即证f1。

同理可证f2， f3∈V*。

再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f1， f2， f3是它的对偶基。

若记P1(x)= C0+C1x+C2x2则由定义可得f1(p(x))=1()p x dx⎰＝C0+12C1+13C2=1f2(p(x))=2()p x dx⎰=2C0+2C1+83C2=0f3(p(x))=1()p x dx-⎰=-C0+12C1-13C2=0解此方程组得C0=C1=1,C2=-3 2故P1(x)=1+x-32x2同理可得p2(x)=- 16+12x2p3(x)= -13+x-12x27.设V是个n维线性空间，它得内积为（α，β），对V中确定得向量α，定义V上的一个函数α*：α*（β）=（α，β）1）证明α*是V上的线性函数2）证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。

）3）证：1）先证明α*是V上的线性函数，即α*∈V*，对∀β1，β2∈V，∀k∈P，由定义有：α*（β1＋β2）＝（α，β1＋β2）＝（α，β1）＋（α，β2）＝α*（β1）＋α*（β2）α*（kβ1）=（α，kβ1）=k（α，β1）=kα*（β1）故α*是V上的线性函数。

2）设ε1，ε2…εn是V的一组标准正交基，且对∀β∈V由定义εi*（β）＝（εiβ）(i=1,2…,n)知εi *（εj）＝（εi，εj）＝1,0,i ji j=⎧⎨≠⎩于是ε1*，ε2*…εn*是ε1，ε2…εn的对偶基，从而V到V*的映射是V与V*中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。

1）证明，对V上现行函数f，f A仍是V上的线性函数；2）定义V*到自身的映射为f→f A证明A*是V*上的线性变换；3）设ε1，ε2…εn是V的一组基，f1， f2， f n是它的对偶基，并设A在ε1，ε2…εn 的矩阵为A。

证明：A*在f1， f2，… fn下的矩阵为A′。

证：1）对∀α∈V，由定义知（f A）（α）＝f（A（α））是数域P中唯一确定的元，所以f A是V到P的一个映射。

又因为∀α，β∈V，∀k∈P,有（f A）（α＋β）＝f（A（α＋β））＝f（A（α）＋A（β））＝（f A）（α）＋（f A）（β）（f A）（kα）＝f（A（kα））=f（k A（α））=k f（A（α））=k（f A）（α）所以f A是V上线性函数。

2）对∀f∈V*，有A*（f）= f A∈V*,故A*是V*上的线性变换。

3）由题设知A（ε1，ε2…εn）＝（ε1，ε2…εn）A设A*（f1， f2，… fn）＝（f1， f2，… fn）B其中A=(aij )n n⨯,B=(bij)n n⨯,且f1， f2，… fn是ε1，ε2…εn的对偶基，于是fj A＝A*（fj），所以aji= bij(i,j=1,2,…n),即证A*在f1， f2，… fn下的矩阵为B=A′.9.设V是数域P上的一个线性空间，f1， f2，… fn是V上的n个线性函数。

1）证明：下列集合W＝{α∈V︱f i(α)=0(1≤i≤n)}是V的一个子空间，W成为线性函数f1， f2，… fn的零化子空间；2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。

证：1）因为f1， f2，… fn是V上的n个线性函数，所以f∈V*(1≤i≤n)，且fi(0)=0(i=1,2,…n)，因而0∈W，即证W非空。

又因为∀α，β∈V，∀λ∈P，有fi(α＋β)＝f i(α)＋f i(β)＝0 (i=1,2,…n)fi(λα)＝λ f i(α)＝0所以α＋β∈W，λα∈W，即证W是V的一个子空间。

2）设W1是V的任一子空间，且dim（W1）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数，就有W1＝V＝{α∈V ︱f (α)=0}所以W1是f的零化子空间。

当m<n时，不妨设ε1，ε2…εm为W1的一组基，将其扩充为V的一组基ε1，ε2…εm，ε1m+，…εn，并取这组基的对偶基f1， f2，… f n的后n-m个线性函数f1 m+,f2m+,…,fn,则W1=V={α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)}即W1是f1m+,f2m+,…,fn的零化子空间，事实上，若令U1＝{α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)}则对∀α＝a1ε1+a2ε2+…+a mεm∈W1,有f1m+(α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0因而α∈U1，即W1⊆ U1。

反之，∀β＝b1ε1+b2ε2+…+b mεm+b1m+ε1m++…b nεn∈U1，由f1m+(α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0，可得b1m+＝b2m+=…=b n=0,因而β＝b 1ε1+b2ε2+…+bmεm+b1m+ε1m++…bnεn∈W1，即U1⊆W1，故U1＝W1。

10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义P m n+上的一个二元函数f(X,Y)=tr(X′AY) (X,Y∈P m n+)1)证明f(X,Y)是P m n+上的双线性函数；2)求f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,E1m,E2m,…,Emn下的度量矩阵。

证：1）先证f(X,Y)是P m n+上的双线性函数，对∀X,Y,Z∈P m n+,∀k1,k2∈P 由定义有f (X, k1Y+ k2,Z)=tr(X′A(k1Y+ k2Z))= k1tr(X′AY)+ k2tr(X′AZ)= k1f(X,Y) + k2f(Y,Z)因而f(X,Y)是P m n+上的双线性函数。

2）由E'ijAEks＝aikEjs知f (Eij, Eks)=tr(E'ijAEks)=tr(aikEjs)=,0,ika j sj s=⎧⎨≠⎩以下设f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,E1m,E2m,…,Emn下的度量矩阵为B，则B=111212122212mm m m mma E a E a E a E a E a E a E a E a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中，E为n阶单位矩阵。

11．在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)给定P4的一组基ε1＝（1，－2，－1，0），ε2＝（1，－1，1，0）ε3＝（－1，2，1，1），ε4＝（－1，－1，0，1）求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵；2）另取一组基η1，η2，η3，η4，且（η1，η2，η3，η4）＝（ε1，ε2，ε3，ε4）T 其中T＝1111 1111 1111 1111⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。