第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。

并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。

3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。

称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。

如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。

),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,都唯一地对应P 中的一个数。

记为),(βαf 。

如果),(βαf 有以下性质： ①f ()2211,ββαk k +=k 1f ()1,βα+k 2f ()2,βα②),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+ V ∈∀2121,,,,,βββααα p k k ∈∀21,则称 f ()βα, 为 V 上的双线性函数。

设 f ()βα, 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵A=()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεε,,,,,,,,,212221212111ΛΛΛΛΛΛΛ叫做f ()βα,在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。

5 对称双线性函数f ()βα,是线性空间 V 上一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量 都有f ()βα,=f ()αβ,则称f ()βα,为对称双线性函数。

如果对V 中任意两个向量βα,都有f ()βα,=━f ()αβ,则称 f ()βα, 为反对称双线性函数。

定理 设V 是数域P 上维线性空间。

f ()βα,是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ使f ()βα,在这组基下的度量矩阵为对角阵。

推论1 设 V 是复数域上n 维线性空间，f ()βα,是 V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni ii y 1ε，有f ()βα,=∑=ri i i y x 1(0n r ≤≤)推论2 设 V 是实数域上 维线性空间，f ()βα, 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量 α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni ii y 1ε，有r r p p p p y x y x y x y x f ---++=++ΛΛ1111),(βα )0(n r p ≤≤≤定理 设 f ()βα, 是 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--,使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=≠+===--sk V f j i f r i f k j i i i ΛΛ2,1,0),(00),(2,11),(αηαεεεε 设V 是数域 P 上的一个线性空间，在上V 定义了一个非退化的双线性函数，则V 称为一个双线性度量空间。

特别地当V 为 维实线性空间，f ()βα,是V 上非退化对称双线性函数时， V 称为伪欧氏空间。

二 例题选讲例 1 设V 是一个线性空间，s f f f ,,,21Λ 是*-V 中非零向量，试证：存在∈αV 使f()0≠αi,i =1,2,K S证 对 S 用数学归纳法 当 S=1 时f10≠ 所以存在∈αV 使f()01≠α 即 S=1 使命题成立假定当 S=K 时命题成立。

即存在∈αV 使 f ()0≠=iia α i=1,2,K K下证S=K+1时，命题成立 若f ()01≠+αK 则命题得证。

若f ()01=+αK 但由01≠+k f 知存在V ∈β使b f k =+)(1β设i i d f =)(β()K i Λ,2,1= 总可取数C使a,i =1,2,K K 令V c d ∈+=γβαγ, 且0)(≠+=i i i cd a f γ()K i Λ,2,1=0)(1≠=+cb f k γ归纳法完成例2设sααα,,,21Λ是数域 P 上的线性空间V 的非零向量，证明：有*_V f ∈使0)(≠i f α s i ,,2,1Λ= 证 因为 V **_V ≅,s ααα,,,21Λ是V 中的非零向量，所以**,*,**,*21s αααΛ是*_V 的对偶空间*__*)(**V V =中的非零向量。

由例1知，存在*_V f ∈ 使 **i α()0≠fs i ,,2,1Λ=即f (i α)0≠,s i ,,2,1Λ=例3 设V 是一个n 维欧氏空间，对V 中确定的向量 定义一个函数*α ：()()βαβα,*=（1） 证明：*α是V 上的线性函数；（2）证明：V 到*_V 的映射：*αα→ 是V 到*_V 的同构映射（在同构的定义下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）。

证 )(*)(*),(),(),()(*)1(21212121βαβαβαβαββαββα+=+=+=+Θ )(*),(),()(*βαβαβαβαk k k k ===),()(*βαβα=∴k 是V 上的线性函数。

（2）先证*αα→ 是单射。

事实上，设 21αα≠ 而 **21αα≠所以β∀有()()βαβα**2= ，即 ()()βαβα,,21=得到 ()0,21=-βαα 。

对于β ，从而 21αα= 矛盾。

又 *1αα→，*2αα→ 而**)(*)(*),(),(),()(*)(212121212121ααβαβαβαβαβααβαααα+=+=+=+=+→+ *)(*),(),()(*)(αβαβαβαβααk k k k k k ====→ *__V V 与∴同构。

例4 设σ是数域P 上n 维线性空间 V 的一个线性变换（1）证明：对V 上的线性函数f ，f σ仍为V 上的线性函数；（2）定义 v *到自身的映射*σ为：σf f → 证明*σ是v *上的线形变换；（3）1ε,2ε, K n ε是V 的一组基，n f f f ,,,21Λ是其对偶基，并设σ在n εεε,,,21Λ下的矩阵为∆。

证明：*σ在n f f f ,,,21Λ下的矩阵为A T (*σ称σ的转置映射)。

证 （1）令g(α)=f (σ(α))） ∀α,β∈V k ∈Pg(α+β)=f (σ(α+β))=f (σ(α)+σ(β))=f (σ(α))+f (σ(β)) =g(α)+g(β), g(k α)=f (σ(k α))=f (k σ(α))=k f (σ(α))=kg(α) ∴f σ是V 上的线性函数。

（2）∀ h 1,h 2∈V *, k,l ∈P ∀α∈V *σ(kh 1+l h 2)(α)=kh 1σ(α)+l h 2σ(α)=(k σ*h 1+l *σh 2)(α)∴f σ是V *的线性函数。

（3）由条件σ(n εεε,,,21Λ)=(n εεε,,,21Λ)A A=(ij a )nn ⨯*σ(n f f f ,,,21Λ)=(n f f f ,,,21Λ)B B=n n ij b ⨯)(有 n ni i i i a a a εεεσεΛ++=2211n nj j j j b b b f εσ+++=Λ21**σfj(i ε)=fjσ(i ε)=fj(n ni i i a a a εεεΛ++2211)=a ji(n nj j j b b b ε+++Λ21)(i ε)=ij b故ji ij b a = 有 'A B =例5 设1ε,2ε,K n ε是线性空间V 的一个基，321,,f f f 是它的对偶基，今给出V 中向量1α=1ε–2ε 2α=1ε+2ε+3ε 3α=2ε+3ε试证1α,2α,3α是V 的一个基，并求它的对偶基。

解 因为(1α 2α 3α)=(1ε 2ε 3ε)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111110011=(1ε 2ε 3ε)A 而A ≠0所以1α,2α,3α线性无关，故它是 V 的一个基。

因此A 是1ε,2ε,3ε到1α,2α,3α的过渡矩阵。

用g1,g2,g3表示1α,2α,3α的对偶基。

我们求出(A')1-。

那么(g 1,g 2,g 3)=(321,,f f f )( A ')1-=(321,,f f f )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 即 321f f g -= 3212f f f g +-= 32132f f f g ++-= 就是1α,2α,3α的对偶基。

例6在F 3中给出两个基1ε=(1,0,0), 2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1) 及1η=(1,1,-1), 2η=(1,1,0), 3η=(1,0,0)试求这两个基各自的对偶基。

并写出它们作用在F 3中任意向量X=（x 1,x 2,x 3）上的表达式。

解 设321,,f f f 是1ε,2ε,3ε的对偶基，那么依定义应有 f i (j ε)=⎩⎨⎧≠=ij i j 01i=1, 2, 3于是对任意X=（x 1,x 2,x 3）∈F 3由X=x 11ε+x 22ε+x 33ε得f1(X)=f 1(( x 1,x 2,x 3))=x 12f (X)=f2(( x 1,x 2,x 3))=x 2f 3(X)=f 3((x 1,x 2,x 3))=x 3由于从321,,εεε到321,,ηηη的过渡矩阵是(321,,ηηη)=(321,,εεε)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001011111=(321,,εεε)A所以（321,,g g g ）= （321,,f f f ）(A ')1-=（321,,f f f ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011110100为1η,2η,3η的对偶基。