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八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章 分式
一、知识概念: 1.分式:形如
A
B
,A B 、是整式,B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于0.
3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变.
4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分.
5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算:
⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a b a b
c
c
c
±±=
⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为: a c ad cb
b
d
bd
±±=
⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:a c
ac b d
bd
⨯=
⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:a c a d ad b
d
b c
bc
÷=⨯=
⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8.整数指数幂:
⑴m n m n
a a a +⨯=(m n 、是正整数)
⑵()
n
m mn a
a =(m n 、是正整数)
⑶()n
n n
ab a b =(n 是正整数)
⑷m
n m n
a a a
-÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >)
⑸n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(n 是正整数)

1
n
n
a a -=(0a ≠,n 是正整数)
9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式常考例题精选
1.若分式2
a+1有意义,则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1
D.a ≠0
2.把分式方程2
x+4=1
x 转化为一元一次方程时,方程两边需同乘以 ( ) A.x
B.2x
C.x+4
D.x(x+4)
3.分式方程12x 2−9-2x−3=1
x+3的解为 ( ) A.3
B.-3
C.无解
D.3或-3
4.今年我省荔枝喜获丰收,有甲、乙两块面积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ,问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ,根据题意,可得方程 ( )
A.8 600x = 9 800x+60
B.8 600x = 9 800x−60
C.
8 600
x−60 =
9 800
x D.
8 600
x+60 =
9 800
x
5.若分式 2
x−1 有意义,则x 的取值范围是 .
6.若代数式 2
x−1 -1的值为零,则x= ________.
7.若关于x 的分式方程x
x−1=3a
2x−2-2有非负数解,则a 的取值范围是 .
8.化简:(a −1a

a 2−2a+1
a
.
9.先化简,再求值:
(1m −1
n )÷
m 2−2mn+n 2
mn
,其中m=-3,n=5.
10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变). (1)从运输开始,每天运输的货物吨数n(单位:t)与运输时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系式?
(2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成任务,求原计划完成任务的天数.
11.先化简,再求值:(x+2x

x−1x−2

x−4
x 2−4x+4
,其中x 是不等式3x+7>1的负
整数解.
12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后,王老师和李老师编写了一道题: 请求出篮球和排球的单价各是多少元?
1.分式
1
x -1
有意义,则x 的取值范围是( ) A .x>1 B .x ≠1 C .x<1 D .一切实数
2.下列各分式与b
a 相等的是( )
A .b 2a 2
B .b +2a +2
C .ab
a 2 D .a +
b 2a
3.下列分式的运算正确的是( )
A .1a +2b =3
a +
b B .(a +b
c )2=a 2+b 2c 2
C .a 2+b 2a +b =a +b
D .3-a a 2-6a +9=13-a
4.化简(a +3a -4a -3)(1-1
a -2
)的结果等于( )
A .a -2c
B .a +2
C .a -2a -3
D .a -3
a -2
5.若x =3是分式方程a -2x -1
x -2
=0的根,则a 的值是( )
A .5
B .-5
C .3
D .-3
6.已知关于x 的分式方程m x -1+3
1-x
=1的解是非负数,则m 的取值范围
是( )
A .m>2
B .m ≥2
C .m ≥2且m ≠3
D .m>2且m ≠3
7.小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本,本月再去买时,恰遇此文具店搞优惠酬宾活动,同样的笔记本,每本比上月便宜1元,结果小明只比上次多用了4元钱,却比上次多买了2本.若设他上月买了x 本笔记本,则根据题意可列方程( )
A .24x +2-20x =1
B .20x -24x +2=1
C .24x -20x +2=1
D .20x +2-24x =1
8.当x =1时,分式x -b x +a 无意义;当x =2时,分式2x -b
3x +a
的值为0,则a +b
= .
9.方程5
x=
7
x-2
的解是x=.
10.若(x-y-2)2+|xy+3|=0,则(
3x
x-y

2x
x-y

1
y的值是.
11.关于x的分式方程
m
x2-4

1
x+2
=0无解,则m=.
12.计算或化简:
(1)3
8-2-1+|2-1|;(2)
2x
x2-4

1
x-2

(3)3-a
2a-4
÷(a+2-
5
a-2
).
13.解分式方程:
(1)1
x-
x-2
x=1; (2)
1
2x-1

1
2-
3
4x-2
.
14.先化简(1+
1
x-2
) ÷
x-1
x2-4x+4,再从1,2,3三个数中选一个合适的数
作为x的值,代入求值;
15.小明去离家2.4 km的体育馆看球赛,进场时,发现门票还放在家中,此时离比赛还有45 min,于是他立即步行(匀速)回家取票,在家取票用时2 min,取到票后,他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆.已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min,骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)小明步行的速度是多少?
(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆?。

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