第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分式到分式1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠）（2）分式无意义：分母为0（0B =）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）（4）分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4【答案】B ．【解析】试题解析：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故选B ．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2【答案】D ．【解析】试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【解析】试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义．例4．当x= 时，分式0． 【答案】1【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．15.1.2 分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：A A B C B C ⋅=⋅，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

例1x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D【答案】C ．【解析】x 、y 都扩大到原来的10故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m-考点：分式的基本性质．例2a、b都扩大6倍，则分式的值（）A.扩大12倍B.不变C.扩大6倍D.缩小6倍【答案】C．【解析】试题分析：分别用6a和6b去代换原分式中的a和b，原式可见新分式的值是原分式的6倍．故选C．考点：分式的基本性质．例3，括号内应填．【答案】c【解析】c c．∴括号内应填c，故答案为c．2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例1．下列各式计算正确的是( ) A.222a ab b a b b a -+=--; B.2232()x xy y x y x y ++=++ C.23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭; D.11x y x y -=-+- 【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。

A 、b a b a b a b a a b b ab a +-=--=---=-+-)()()(2222，故本选项错误； B 、yx y x y x y x y xy x +=++=+++1)()()(232322，故本选项错误； C 、86243)(yx y x =，故本选项错误； D 、11x y x y-=-+-，正确， 故选D 。

例2．把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分;是 . 【答案】公因式；xy【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式中，分子与分母的公因式是.xy 例3．将下列分式约分：= ; (2)= = .【答案】 (2) (3)1 【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。

（1（2 （3=.1例4= ． 【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式例5 【答案】解：原式 【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. ②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例1．下列各式计算正确的是( )A.ba b a +=+111 B.ab m b m a m 2=+ C.a a b a b 11=+- D.011=-+-a b b a 【答案】D 【解析】本题考查的是分式的通分 根据分式的性质对各学项分析即可。

ab b a b a +=+11，故本选项错误；ab am bm b m a m +=+故本选项错误；a ab b a b a b 111-=--=+-，故本选项错误； 01111=--=-+-b a a b b a ，正确，故选D 。

例2 ） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 2【答案】D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数．解：三个分式分母的系数项的公因数为a 2b 2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a 2b 2． 故选D例3 ） A ．6xy 2 B ．24xy 2 C ．12xy 2 D ．12xy【答案】C【解析】先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，12xy 2． 解：2，3，4的最小公倍数为12，12xy 2． 故选C ．15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 2、分式的乘除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：a c a d a d b d b b c c⋅÷=⋅=⋅ 3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛例 ） C 【答案】B.【解析】试题分析：原式 故选B.考点：分式的乘除法．例2 ）A ．mBC ．m －1D 【答案】A ．【解析】 试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．试题解析：原式故选A ．考点：分式的乘除法． 例3．化简的结果为 ．【答案】2x【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简． 原式21)(1)11x x x x x x =x （x －1）+x=2x ．考点：分式的化简 15.2.2 分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为：cb ac b ±=±c a异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：bdbc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

例 ）A C D 【答案】C ． 【解析】试题分析：原式C ． 考点：分式的加减法．例2 ）A ．m+3B ．m ﹣3CD 【答案】A【解析】试题分析：利用同分母分式的减法法则计算，原式= 故选：A ． 考点：分式的加减法．例3．计算：+= ． 【答案】2【解析】试题分析：根据同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减，可解得原式． 考点：分式的加减例4 ）A ．1+x BC ．1-x D【答案】A【解析】 试题分析：原式； 故选A ．考点：分式加减法．例5．已知2410x x --=，求代数式【答案】5．【解析】试题分析：此题考查了分式的化简与代值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先正确进行分式的约分，然后准确代值计算即可．试题解析：解：原式()()()3444x x x x x x x --=---∵2410x x --=，∴241x x -=． ∴原式1451+== 考点：分式的化简求值．15.2.3 整数指数幂1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即：n m n m a a +=⋅a ()mn n ma a = ()n n nb b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ） n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛n n a 1=-n a 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m ，n 均为整数。

15.3 分式方程解的步骤：1、去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。