的特解, 是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
k 1
n
的特解. (非齐次方程解的叠加原理) x 1 y y 0,( x 1) 满足初值条件 例 1 求方程 y x 1 x 1 y x0 3, y ' x0 2 的特解.
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y ( x) y * ( x)
②
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得
( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * ) ( Y P( x) Y Q( x) Y )
是方程
的解, 则
与 y2 ( x) 分别是方程
y P( x) y Q( x) y f1 ( x)
y P( x) y Q( x) y f 2 ( x)
的解.
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定理 5.
分别是方程
y P( x) y ,, n )
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
5
例 2 求解 解 代入方程得 两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y, (一阶线性齐次方程) 故所求通解为
d p d p dy dp 则 y p dx d y dx dy
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§5.3.2 二阶线性微分方程
如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未 知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称 为二阶线性微分方程. 它的一般形式为
这种类型方程右端不显含未知函数 y，可先把 y ' 看作未知函数.
2
设 y p ( x) ,
设其通解为 则得
原方程化为一阶方程
p ( x, C1 ) y ( x, C1 )
再一次积分, 得原方程的通解
y ( x, C1 ) d x C2
例 1. 求方程 y '' y ' e 的通解.
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性
质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立.
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定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
x
3
补例. 求解 解
(1 x 2 ) y 2x y
y
x0
1 , y
x0
3
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y
x0
3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 )
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 常数, 故方程的通解为 且
y2 tan x y1
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定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程
两端再积分得 利用 y
x0
y x 3 3 x C2
1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3 x 1
4
3. y f ( y, y) 型
d p d y d p 令 y p ( y ), 则 y dx d y dx
故方程化为 设其通解为 p ( y, C1 ), 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
第三节 二阶微分方程
§5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程
1
§5.3.1 特殊二阶微分方程
1. y '' f ( x) 型
可由初始条件确定这两个任意常数.
积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数，
2. y '' f ( x, y ')型
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
必需全为 0 ,
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
在任何区间 I 上都 线性无关.
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两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 使 存在不全为 0 的 线性相关
线性无关
线性无关
y1 ( x) k2 ( 无妨设 y2 ( x) k1 k1 0 ) y1 ( x) 常数 y2 ( x)
f ( x) 0 f ( x)
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故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程
对应齐次方程
有特解 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
如果
y P( x) y Q( x) y f1 ( x) if 2 ( x)