------------------------------------------------------------精品文档--------------------------------------------------------求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
4MM6AB?BMAM,相交于，直线．已知线段，求点，且它们的斜率之积是例19的轨迹方程。
x ABAB(3,0)B(A?3,0),y，所在直线为垂直平分线为解：以轴，轴建立坐标系，则y(k?x??3)BMMAM)y(x,的斜，直线，则直线设点的坐标为的斜率AM x?3y(x?3)k?率AM3?x4yy3)???(x?由已知有9?x3x?322yx??1(x??3)M的轨迹方程为化简，整理得点94练习：Px?4P(10,0)F的轨迹方．1平面内动点，到点则点的距离之比为的距离与到直线2程是。
22x ABPll4??2yx上满足交于．设动直线两点，垂直于、轴，且与椭圆是2PA?PB?1P的轨迹方程。
的点，求点3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
AB30ABCAC?(8,0)B(C?8,0),，2例．若的两顶点，和为两边上的中线长之和是?ABC。
_______________的重心轨迹方程是则．AB30ABCAC?)(x,yG可得，则由两边上的中线长之和是的重心为和解：设2?30??CG?20BGG(8,0)8,0),CB(?B,C的轨迹为以，而点为定点，所以点3为焦点的椭圆。
228?20,c?2a?c?a6?a?10,b可得所以由22yx??1(y?0)?ABC的重心轨迹方程是故10036练习：22?|x?y?(y?1)x2(?1)2|?表示的曲线是（ 4）．方程A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y),B(x,y)x?x，的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得221211x?x2x?x?xyy?yy?AB),yP(x，的中点等关系式，由于弦，，的坐标满足21212121y?y12y??y2y ABAB中点的轨迹方程。
，由此可求得弦且直线的斜率为21x?x1222yx??1P(1,1)P点平分,则该弦所在直线方程为的弦恰被例中,过3．椭圆42_________________。
A(x,y)B(x,y)(1,1)P，则有、的直线交椭圆于解：设过点11222222yyxx2112??1??1② ① 4242(x?x)(x?x)(y?y)(y?y)21121122??0?②可得①242?yx?x?2,y?AB(1,1)P的中点，故有而为线段2112(x?x)?2(y?y)?2y?y11121122k?????0??所以，即AB2x?242x211(x?1)y?1??02?y?3x?所以所求直线方程为化简可得2练习：22ABABM2)P(2,my?2x?的中点交于、．5已知以为圆心的圆与椭圆两点，求弦的轨迹方程。
．2y2?1x?PlB(1,1),AP能否作一条直线使，6．已知双曲线与双曲线交于两点，过点2AB的中点？为线段4．转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：P在已知方程的曲线上移动；①某个动点MP的变化而变化；②另一个动点随PM满足一定的规律。
③在变化过程中和22yx??1FF,FFP?PG的重心是以为焦点的双曲线求上的动点，的例4．已知2121169轨迹方程。
P(x,y)F(?4,0),F(4,0)),yG(x，因为解：设重心，点2010?4?4?x?022?xyx?xx?3? ?0003代入则有，故1???? y?0?0y3y?16900???y? 3?2x92?1(yy?0)?得所求轨迹方程162FABAFl yx4?1)(0,?、再以作直线两点交抛物线的焦点为5．抛物线,,过点、例BFAFBRR的轨迹方程。
为邻边作平行四边形，试求动点xy?1)P(,AFBR(0,1)FR(x,y)，∴平行四边形，的中心为解法一：（转移法）设，∵22204?x?4kx?1y?kx?，代入抛物线方程,，得将)(xy,,A(xy),B，则设22112?1?|k|16k??160???????k?4??4kxx??xx①??2211??4?4?xxxx????2211222xx)?2x(x?xx?2221112y?2?y?4??k∴，2144．x?xx?21??2k?x?4k??22?ABPk∵得为∴的中点.，消去??y?y21y?y?4k?3??2211???2k? 22?22R?4(y?3)(|xx|?4)3)?4(xy?4||?x。
的轨迹方程为，由①得，，故动点xy?1),P(AFBR(0,1))FR(x,y，，∵的中心为，∴平行四边形解法二：（点差法）设22)yA(x,y),B(x,设，则有211222?4xyyx4?②①2211?(x?x)(x?x)?4(y?y)?x?x?4k由①③②得l12211122y?1?1xy?32x?x?2??x,k??ABPl1)?(0,代的中点且直线，所以而过点为l21x2x22?x123y?2x?4?x?4y?12?y?④，化简可得入③可得x4xy?1xy?122?8(y?4??x)()P(,1)?⑤在抛物线口内，可得由点22222?12x22?16?|x|??1)?x4x?8(将④式代入⑤可得42R?4(y?3)(|xx|?4)。
的轨迹方程为故动点练习：P4)(1,1,0),BA(?QQ 4QB ?QA ?关于直线7，点，在平面上动点．已知是点满足P4)x ??y2(的轨迹方程。
的对称点，求动点5．参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。
在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
22OB ?OA ?OP BAl 1??yx 2,0)M(? 已知于．例6过点、作直线交双曲线。
两点，P （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；OAPBll 的方程；若不存在，矩形？若存在，求出，使）是否存在这样的直线2（说明理由。
22ll 1??yx 0)2)(k ??k(x ?y 的方程为，代入方程解：当直线的斜率存在时，设，得22220?k)x1?4k ?x ?(1?k42)B(x,yA(x,y),0k ?1?l 因为直线，设与双曲线有两个交点，所以，则2112221?44kk ??,xxx ?x ①2211221?kk ?12kk4?k4?k ?4x ?x)?4k ?y ?k(x ?2)?k(x ?2)?k(y ? 22112122k11?k ?2kk44OBOA ?OP ?)yP(x, ，由设得),,y ?y)?((x,y)?(x ?x212122k1?k ?12?k4x4?x ?2k ?1xk4y ??y ?yk ? 可得，代入∴ 所以，化简得? x 2k1?y k42?)1?(?y y ? 2k1??22224?2)y ?y ??4x ?0(xx ? 即 ②l4,0)P(?程为，故得所求轨迹方满足方程②当直线易的斜率不存在时，求220)?4((x ?2)y ?y ?，其轨迹为双曲线。
（也可考虑用点差法求解曲线方程）0OA ?OB ?0?yy ?xx OPAB 为矩形的充要条件是③即（2）平行四边 2112BAk 3)??(?2,2,3)( 坐标分别为不存在时，，不满足③式、当、222kkx ?x)??(1k ?)xx ?2k4(k ?yxx ?y ?xxk(x ?2)(x ?2) 存在时，当221212************?kk ?2k4)(1?k4(1?k)20?4k ???0? 化简得，2221kk1??1?kOPABl 使此方程无实数解，故不存在直线为矩形。
练习：2y 2?x ?1OABl(0,1)M 设椭圆方程为,过点．的直线是坐标原点交椭圆于点,、8, 4111)(),(OAOP ??OBMPNl : 点,,满足点的坐标为绕点求旋转时,当 222P |NP|的最小值与最大值。
(1)动点 (2)的轨迹方程；2ABOOA ?OB 0)?p ?y4px(，过以外的两个动点，且上原点．设点9和为抛物线MMABOMO ?的轨迹方程。
，求点作 于6．交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程 组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
22yx ABMN 是椭圆长轴的两个端是椭圆中垂直于长轴的动弦，例7．已知、1??22ab MANBP 的轨迹方程。
和 点，求直线的交点M(x,y)N(x,?y) ，则解1:(利用点的坐标作参数)令1111AMNBP(x,0),y)(A(?a,0),Ba .而设的交点为与yyyy11N,BA,M,P,P 共线，所以因为 共线，所以因为 ??? x ?ax ?ax ?ax ?a112222222y yx)?(abx y11112两式相乘得①，而代入① 即??1??y?12222222x?ax?a aba12222yxbx P的轨迹方程为，得即交点1???22222baax?a解2: (利用角作参数)????)bcossin,,bsin?)N(aM(cosa，则设??yysinbbsin?两式相乘消去 , 所以??????aacos?ax?ax?aacos22yx P点的轨迹方程为。