求动点轨迹方程的 常用方法
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x 解：方法一 五步法(直接法或直译法): 第一步 建系设点:
过原点任作一弦OA，其中点为M(x, y).
第二步 列等式:
３．代入法：要有双动点和已知其一动点轨迹方程．
４．向量法：要能找到垂直或平行的动向量． ５．交轨法：动点为两动曲线的交点．
６．参数法：已知特殊曲线方程．
相应习题
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x、y) -2x2+y2=1 的轨迹方程是______________________
由垂径定理可知： CM OA | MO |2 | MC |2 | OC |2
第三步 第四步 第五步
代入: 化简:
x y
2
2
2
( x 1) y
2
2
2
12
x 2 - x y2 0
(x - 1 ) 2 y 2 1 (圆) 2 4
证明与检验:
1 4
由于原点 (0,0)为方程的解，却不在轨 迹上，应舍去。 所以所求方程为： - 1 ) 2 y 2C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x
方法二 定义法(公式法):先判断并证明轨 迹形状,再根据特殊曲线定义写出方程.
由垂径定理可知 : CM OA OMC为直角三角形 直角顶点M的轨迹为以斜边
x2 y2 1 轨迹方程是_________________________ 4
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
9 1 2 4，则动椭圆中心的轨迹方程为_________________ x- y 2 4
2
1 2 2 2
( x 1) x y 2 0
所求轨迹方程为： - 1 ) 2 y 2 1 (舍去原点(0,0)) (x 2 4
练习： 1. 已知圆C的方程为: ( x 4) 2 y 2 4, 过原点的直线 交 l 圆为A和B两点(不重合), 求弦AB的中点M的轨迹方程 .
设直线lOA : y kx ①
OA CM
1 k CM K1OA K
则lCM 的点斜式为： - 1 ( x 1)② y k
由于动点M(x, y)是动直线lCM 与lOA的交点，其坐标满足 方程①和②，
2 1 k
消去参数 (① ②)： k
2
y (kx)[- ( x 1)] x x (x - ) y 1 4
y l M(x,y) C(4,0) x
B
A O
参考答案：x 2 y 2 4( 7 x 4) 2
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x 方法四 代入法(转移法):先把主动点的坐标 用从动点的坐标表示,再代入主动点轨迹方程 得到从动点轨迹方程(双动点).
y A M O C(1,0) x 方法三 向量法:利用向量性质(主要是利用垂 直和平行)求曲线方程.
设动点M(x, y).
则CM ( x 1, y), OM ( x, y)
CM OM
CM OM 0
( x 1, y) ( x, y) 0
(x - ) y 1 4
OC为直径的圆. 圆的圆心为OC的中点( 1 ,0), 2
半径 r 1 | OC | 1 2 2 所求圆的方程为：
(x - 1 ) 2 y 2 1 (舍去原点(0,0)) 2 4
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
设从动点M(x, y), 点主动点A( x0 , y0 ), 由于点M为OA的中点
0 x0 x 2 则: 0 y0 y 2
x0 2 x y0 2 y
2
由于点A在圆C上，
则 ( x0 1) 2 y0 1
(2 x 1) 2 (2 y) 2 1
1 4
练习： 1.已知圆C的方程为: ( x 4) 2 y 2 4, 过原点的直线 交 l 圆为A和B两点(不重合), 求弦AB的中点M的轨迹方程 .
参考答案：x 2 y 2 4( 7 x 4) 2
求动点轨迹方程方法选择小结：
１．五步法：是通法，适用性强，但要尽量避免复杂计算． ２．定义法：要准确判断轨迹形状．
( x 1 )2 y 2 2
1 4
所求轨迹方程为： - 1 ) 2 y 2 1 (舍去原点(0,0)) (x 2 4
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x 方法五 交轨法:若动点是两动曲线的交 点，可联立两曲线方程，消去多余参数, 得出动点轨迹方程.
3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 程是______________________.
相应习题
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等 差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
由于点在圆C : ( x - 1) 2 y 2 1上，可设 x A 1 cos y A sin
[0,2 )
由于点M ( x, y )为的OA中点，则 x 02x A 1 cos cos 2 x 1 2 0 ya sin sin 2 y y 2 2 sin 2 cos 2 (2 x 1) 2 (2 y ) 2 1 (x - 1 ) 2 y 2 2 即所求轨迹方程为 (x - 1 ) 2 y 2 1 (舍去原点(0,0)) : 2 4
1 2 2 2
所求轨迹方程为： - 1 ) 2 y 2 1 (舍去原点 (0,0)) (x 2 4
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x 方法六 参数法:根据曲线性质,把动点坐 标用参数表示,然后消去参数,得出方程.
x2 y2 1 y 0，x 0 _____________________. 12 16
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 32 (D) (A)圆 (B)双曲线
3x 4 y - 1 5
则点M轨迹是
(C)椭圆
(D)抛物线
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6.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 X2=-2y-2 点的轨迹方程是_____________ 7.已知线段AB的两个端点A 、 B分别在x轴、y轴上滑 动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的