求轨迹方程的常用方法:
题型一直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，
根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻
译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯
粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，
也就是说曲线上所有的点适合这个条件
而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。
例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线
AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段
MN 中点P 的轨迹方程。
解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)，
AM AN
k AM k AN
所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。
变式1
已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。
若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜
率。
题型二定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定
义法求轨迹方程。
2 2
例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。
解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值,
N(2x,0)(x,y
R)
0 3 2y 2x 2 0 2
3
1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1)
当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点
P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0，
N (1,0)的距离的2倍。
故点M的轨迹是双曲线。
2a 4
a 2, c 4
b c2 a212
2 2
故动圆圆心M的轨迹方程为-y1
4 12
变式2
在厶ABC中，BC 24, AC, AB上的两条中线长度之和为39,求厶ABC的重心的轨迹方程.
解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标
2
系，如图1, M为重心，则有|BM| |CM 39 26 .
3
••• M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，
国1 其中 c 12, a 13 . • b a2 c2 5 .
2 2
•所求△ ABC的重心的轨迹方程为 - »1(y 0)
169 25
题型三相关点法
此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x', y')的坐标，可先用x, y来
表示x',y'，再代入曲线C的方程f(x,y) 0,即得点M的轨迹方程。
2 2
例3如图，从双曲线x y 1上一点Q引直线x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN 的中点P的轨迹方程
分析：从题意看动点P的相关点是Q , Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。
解：设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(x^yj，则点N的坐标为(2x x「2y y1) N在直线x y 2 上,
2x x1 2y y1 2 …①
又P Q垂直于直线x y 2 ,
y—吐 1，即x y y1 X1 0…②
x x-i
2
变式3已知△ ABC 的顶点B( 3,0), C(1,0)，顶点A 在抛物线y x 上运动，求 △ ABC 的重 心G 的轨迹方程.
••• A(x o, y o )在抛物线y x 2上, ••• y o 2
x o 将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y
0), 即所求曲线方程是 y 3x
2
4x
4 3
(y
0).
题型四参数法
普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，
然后在选取合适的参数， 因
为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例4已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ，在I 上取两点P , P ,使有向线段OP,OP luu uujr
满足OP ・OP 4，求直线 AP 与AP 的交点M 的轨迹方程. 解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴, 直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0),
4
则由题意，得P 0,
4
.
t
由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y
3 1 彳
x -y 1
2 2
••1 3 彳 x y 1 2 2
X i
由①②解得
y i
又点Q 在双曲线x 2 y 2
1上,
2 2
X i y i 1…④
③代入④，得动点
P 的轨迹方程为2x 2 2y 2
2x 2y 1
解：设G(x , y) , A(X o, y o )，由重心公式，得 3 1 x
x
3
x ° 3x 2, ① 又
y 。
y
§
， y 。
3y ・
②
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标
x, y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其
以线段AA 的中垂线为y 轴建立
两式相乘，消去t ，得4x 2 a 2y 2 4a 2(y
0).
这就是所求点M 的轨迹方程.
2
变式4设椭圆方程为x 2 -
1，过点M (0,1)的直线I 交椭圆于点A , B , O 是坐标原点,
4
1 1 1
I 上的动点P 满足OP -(OA OB)，点N 的坐标为(-,-)，当I 绕点N 旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程；(2)| NP |的最小值与最大值.
分析：(1)设出直线I 的方程，与椭圆方程联立，求出 冷 X 2,y 1 y 2，进而表示出点P 坐 标，用消参法求轨迹方程； (2)将| NP |表示成变量x 的二次函数。
(1)法一：直线I 过点M (0,1)，当I 的斜率存在时，设其斜率为 k ，则I 的方程为
kx 1
2
① 红1
4
②
_k_ 4 k 2 4 4 k 2
当直线I 的斜率不存在时, A ， B 的中点坐标为原
点
(0,0)，也满足方程③,
所以点P 的轨迹方程为4x 2 y 2 y 0。
消去参数k 得4x 2 y 2
y 0…③
解:
kx 1。
设 A( X 1, y 1)， B(x 2,y 2)，由题设可列方程为
x 2 将①代入②并化简得：(4
2 2
k )x
2kx 3
所以
设点 X 1 y 1 OP 2k 4 k 2 8 y 2
2
4 k
X 2
2(OA OB) 2
(为 X 2
2
y 1 y 2) 2
(
4
P 的坐标为(x, y)，则
法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x i，yj , B(X2, y?)在椭圆上，所以
2
2
y i 彳
X i i
4④
2
2y2 i
X2i
4
⑤
④一
⑤;得：X i2
2
X2
i 2 2
-(Y i2 V22) 0
4
所以(x i X2)(x i x?) (y i y2)(y i y) 0
4
1 y1y2
当 & X2时，有X i X2 (y i y?) - - 0 …⑥
4 x1 x2
X-| x2
X
2
并且y 上密…⑦
2
y i y i y2
X X-I x2
将⑦代入⑥并整理得4x2y2y 0…⑧
当X i X2时，点A, B的坐标分别为(0,2)、(0, 2),
x 2 x 2
(y 3) 这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧，所以点P的轨迹方程为—一合i o
4
2i i i
(2)由点P的轨迹方程知X2，即X -
i6 4 4
—■ 2i 2i 2i 2i 2i 27 所以|NP|2(x -)2(y -)2(x -) -4x23(x -)2
2 2 2 4 6i2
i —i
故当x —时，| NP |取得最小值，最小值为一；
4 4
故当x 丄时，|NP|取得最小值，最小值为
6。