课题《基于“交汇”的数学试题命制的研究》子课题:高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究厦门双十中学李生华一、子课题中几个核心概念的界定。

1、什么叫高观点？.本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和现代数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、教育学知识、心理学知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论等等。

2、什么叫高观点下数学问题？“高观点”下的数学试题,是指与高等数学相联系的中学数学问题或者说含有高等数学背景的中学数学问题.高观点下试题的命制是以现代数学和高等数学的知识背景来命制中学数学题目的一种新的命制模式。

3、什么是高观点下的中学数学教学？老师们在教学中运用高等数学的理论、思想、方法与观点剖析中学数学相关内容的一种教学方式，这种教学有利于探究高等数学对中学数学教学的指导作用，积极把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。

高观点下的中学数学教学能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。

二、本课题的意义和探究内容。

2、1、本课题的意义。

（1）引导中学数学教师应当站在更高的视角，从高等数学的角度，以宽泛的视野来诠释初等数学的核心知识及重要的数学思想方法内容来审视和理解初等数学的问题。

只有把握并能驾驭数学核心概念，重要的数学思想方法及其发生、发展过程，才能更准确地回答学生提出的“为什么”。

（2）通过高观点下高考题的研究提升含有高等数学背景的高考试题的解题能力，提升编拟该类型试题的水平。

（3）通过本课题的前期和后续研究积极促进2012年福建数学高考的备考。

2.2 本课题主要探究内容（1）中学数学与高等数学的联系。

通过几个高中数学问题的初等数学解法和高等数学解法进行比较分析；（2）研究这几年全国各地高等数学背景的高考题；（3）2012年福建高考备考的几个启示。

三、高观点下中学数学教学内容。

3.1中学数学与高等数学的联系。

（1）中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础。

现代数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来，如，数集和点集（平面的和空间的）是集合的特例；整数环是可换环的原型，有理数域是域的原型，数的四则运算是二元运算的特例；数值函数是映射的特例，变换又是特殊的函数等。

（2）对于中学数学里某些不能交待清楚的问题，要了解其再数学史上产生和解决的过程，弄清它们在高等数学里的背景。

如，新课程教材中为什么把“0”作为第一个自然数？自然数与有理数、实数相比较，孰多孰少？（3）高等数学知识在中学数学解题当中的运用一方面能提升中学数学老师高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益；另一方面，随着高考命题改革的逐步深入，结合命题组成员中大多是大学教师，他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响，因此高等数学背景下的高考题编拟越来越重视。

3.2 高等数学知识在中学数学中的应用3.2.1数学分析的有关概念在中学数学中的应用数学分析的形成是深深扎根于初等数学基础上的,它的一些基本概念,如极限、导数、积分、无穷级数的收敛等,都是在初等数学有关问题的基础上发展而来.比如,初等数学只能求直线形所围成的多边形面积,圆形(包括扇形和弓形)的面积,若要求其他曲线形的面积,初等数学难以解决,就必然要探求新的方法,从而便在初等数学的基础上,形成了以微积分为中心的“数学分析”。

例1：求nnn n n nC C C C ++++Λ32132 法一：利用公式 )2(11+--∈≥=N n n nC kC k n k n 且法二：求导法n n n n n nn x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1( 两边对x 求导得：12112)1(--++=+n n n n n n x nC x C C x n Λ令x=1得：1321232-⋅=++++n nn n n nn nC C C C Λ 例2、已知 20π<<x ，求证：sinx<x<tanx.法一：单位圆内利用面积的大小比较得到。

法二：设f(x)=sinx,g(x)=tanx 由拉格朗日中值定理及20π<<xx x x xx f x f <⇒<==--sin 1cos sin 0)0()(1ξx x xxx g x g >⇒>==--tan 1sec tan 0)0()(22ξx x x tan sin <<∴备注：拉格朗日中值定理：函数f(x)在[a ，b] 连续，且在(a ，b)可导，则在(a ，b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)= )(,ξf (b —a)。

3.2.2、高等代数在中学数学中的应用高等代数不仅是中学数学的延拓,也是现代数学的基础.作为中学数学教师总感觉到大学中学的高等代数在中学教学中用不上,其理由是从初等数学到高等数学,在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别;其实这是一种误解,正因为有这样的区别,它能使我们从中学的解题思维定势中走出来,用一种更深远的眼光来看中学数学问题.例3：若 , , a b c R +∈且1a b c ++=.求证：1119a b c++≥法一：利用均值不等式解决即可。

法二：利用柯西不等式。

构造设=ξ,η= 则有：22111111()())a b c a b c a b cξη=++++=++ 22111,9a b c ab c η⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 由柯西不等式得：1119a b c ++≥成立备注：柯西—施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式。

设欧式空间nR ,令12=,,)n a a a ξL （,12(,,)n n b b b R η=∈L 则有222,ηξη≤（当且仅当ξ,η线性相关时等号成立）,在标准内积下,有：222222*********)()(),n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L L L （法三：此题还可以高等数学中函数的凹凸性为背景求解（关于函数的凹凸性质后面会详细分析）。

证明 结合图像x y 1=在第一象限的一支 在上面取111(,) ,(,) ,(,)A a B b C c a b c三点 此三点的重心G （00,y x ）其中3cb a x o ++=；31110c b a y ++=由x y 1=的下凸性可知,点在曲线上侧,所以001x y >,即313111c b a c b a ++>++ ,得到211139a b c a b c++≥=++ 3.2.3、概率与统计在中学数学中的应用例4、设1,,0≤≤z y x ，求证：1≤---++zx yz xy z y x证明：设A 、B 、C 是三个相互独立事件且p(A)=x,p(B)=y,P(C)=z 由概率的性质及加法公式得zxyz xy z y x CA p BC p AB p C p B p A p ABC p CA p BC p AB p C P B P A P C B A p ---++=---++≥+---++=++≥)()()()()()()()()()()()()()(1xyyzzyx∴zx+-≤1--+例5、（2010年福建省质检卷第15题）编者的意图在于：凸显概率论在生活中的应用，体现“或然”与“必然”的思想。

按编拟此题的高校老师的观点认为：新课程对概率和统计要求是小学开始学，初中要学、高中要学、大学更要从学科角度深入学习，此题要让学生明白概率在多方面的应用。

四、高观点下研究全国各地高考题。

3.1对含有高等数学背景的高考试题研究。

《辞海》中的背景一词有三层含义:第一层为布景；第二层指图画；第三层指对人物或事物起到一定作用的环境和情景。

含有高等数学背景的高考题指高考命题时立足于高等数学相关知识，通过初等化处理（用中学相关知识精心设置和包装），使得编拟的试题直接或间接含有高等数学中的一些基本知识、基本问题、基本思想和方法等等。

本文所探讨的主要以高等数学基本知识为载体呈现的。

3.1.1以矩阵知识为背景例1、（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++ΛΛ (B). 2221212111k k a a a a a a +++++++ΛΛ (C). 2122211211k k a a a a a a +++Λ (D). k k a a a a a a 2122122111+++Λ . 3.1.2 以集合和映射为背景。

例2、（2011年福建高考理科卷第15题）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有)()1()())1((b f a f b a f λλλλ-+=-+ 则称映射f 具有性质P 。

先给出如下映射：① ;),(,)(,:11V y x m y x m f R V f ∈=-=→ ② ;),(,)(,:222V y x m y x m f R V f ∈=+=→ ③ ;),(,1)(,:33V y x m y x m f R V f ∈=++=→其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号）3.1.3以近世代数群的定义为背景。

例3、（2011年福建高考文科卷第12题）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1] ②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”. 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 例4、(06四川理第16题)非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈(2)存在,e G ∈都有,a b b a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算： ① G ＝｛非负整数｝,⊕为整数的加法. ② G ＝｛偶数｝,⊕为整数的乘法.③ G ＝｛平面向量｝,⊕为平面向量的加法. ④ G ＝｛二次三项式｝,⊕为多项式的加法. ⑤ G ＝｛虚数｝,⊕为复数的乘法.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是__________.(写出所有“融洽集”的序号) 分析：本题其实源自大学数学专业课中的《近世代数》,此题给出了一个新的概念“融洽集”, 考查学生在瞬间理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“融洽集”的能力.①{},G =⊕非负整数为整数的加法,满足任意,a b G ∈,都有a b G ⊕∈,且令0e =,有00a a a ⊕=⊕=,所以①符合要求.②{},G =⊕偶数为整数的乘法,若存在a e a e a ⊕=⨯=,则1e =,矛盾,∴ ②不符合要求.③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法,取0e =r,满足要求,∴ ③符合要求;④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以④不符合要求.⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求.这样G 关于运算⊕为“融洽集”的有①③. 3.1.4 以函数的性质为背景。