第三章课后作业
一、必做作业：
1． 用两种方法求下列函数的极值： （1）3
31y x x =-+
解：
解法一：332
-='x
y ,x y 6=''，
令0='y ，得到：1±=x ，当1=x 时，0>''y ，y 取得极小值且1-=极小值y ；当1-=x 时，0<''y ，y 取得极大值且3=极大值y ；
解法二：令： 32031()()y x x x x x αβ=-+=-++
3
2
2
2
0000(2)(2)x x x x x x x αααβ=+-+-++
比较系数得到： ① 020=-x α；②32020-=-x x α；③12
0=+βαx
由①得02x =α，代入②得12
0=x ，故，1100-==x x 或。

若10
=x ，则，2=α，代入③得1-=β，从而有：
1)2()1(2-+-=x x y ；
当x 在1的附近，显然有02>+x ，又0)1(2
≥-x ；所以：11)2()1(2
-≥-+-=x x y ，即函数y 在处10=x 取得极小值-1.
若10
-=x ，则，2-=α，代入③得3=β，从而有：
3)2()1(2+-+=x x y ；
当x 在-1的附近，显然有02<-x ，又0)1(2≥+x ；所以：33)2()
1(2
≤+-+=x x y ，即函数y 在处10-=x 取得极大值3.
（2）3
2
23121y x x x =--+． 解：
解法一： 12662
--='x x
y ,612-=''x y ，
令0='y ，得到：12-=或x ，当2=x 时，0>''y ，y 取得极小值且19-=极小值
y ；当1-=x 时，0<''y ，
y 取得极大值且8=极大值y ；
解法二：
32203222
0000231212()() 22(2)2(2)2y x x x x x x x x x x x x x αβαααβ
=--+=-++=+-+-++令
比较系数得：
①3)2(20-=-x α；②12)2(202
0-=-x x α；③122
0=+βαx 由①得2
320-
=x α
，代入②得0202
0=--x x ，故，1200-==x x 或。

若20=x ，则，2
5
=α，代入③得19-=β，从而有：
19
)2
5
()2(22-+-=x x y ；当
x 在
2的附近，显然有
02
5
>+
x ，又0)2(2
≥-x ；
所以：1919)2
5
()2(22
-≥-+-=x x y ，即函数y 在处20=x 取得极小值-19. 若10
-=x ，则，2
7
-
=α，代入③得8=β，从而有： 8)2
7()1(22
+-+=x x y ；
当x 在-1的附近，显然有027<-x ，又0)1(2
≥+x ；所以：88)2
7
()1(22
≤+-+=x x y ，即函数y 在处10-=x 取得极大值8.
2． 问当,x y 取何值时，22(,)56214812f x y x xy y x y =++--+取得最小值．
解：先求二次函数的偏导数⎩⎨⎧-+=-+=8
4614
610y x f y x f y x ，并令0;0==y x f f ，解得
1,2-==y x ，此为),(y x f 的驻点，且),(y x f 在2R 上是连续的，因此在点
（2，-1）上取得最小值2。

即当1,2-==y x 时，
),(y x f 取得最小值2.
3． 有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．
解：依题意，顾客人数至少为三人，当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。

可见，第一次
广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。

第一次开播时，第2，3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播则应在第三个顾客进来之后。

而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。

所以，至少播2次就可以了。

这个对任意的3≥n 也成立。

设：第一个离去的顾客为A ，最后一个进来的顾客为B ，若按上述方法广播2次之后，仍有顾客C 没听见，则C 必在A 离去之后才进来，且在B 进来之前就离去，于是C 与A 、B 均未相遇。

这与已知条件矛盾。

所以，商场至少需要广播2次，当天全体顾客都可以听到了。

4．
22101x x
-+>+． 解：原式可化为：①01112
22>+-++x
x x x ，由于012
>+x ，因此，只要01122>-++x x x ，①式即可成立。

因此
110112222->+⇔>-++x x x x x x ②
（1）当1≥x 时，不等式②两边均为正数，两边平方符号不变，即
222424221
((1)213
x x x x x x >-⇔+>-+⇔>
1x x x ⇔>
<≥从而； （2）当1-≤x 时，01,0122>-<+x x x 而，从而不等式②不成立，无解；
（3）当10<≤
x 时，01,0122<->+x x x ，从而不等式②恒成立，即不
等式的解为10<≤x ；
（4）当01<<
-x 时，不等式②两边均为负数，两边平方符号改变，即
3
3
,333331)1()1(2
2
2
2
2
<<-<<-⇔<⇔-<+x x x x x x 从而
综上所述，可以知道不等式的解集为⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧->33x x .
5． 设0,1,2,i a i >=…,n 求证：12121212(
)n n
a a a a a a n n a a a a a a n
++++≥ .
证明：原不等式等价于12121212ln()ln()n n
a a a a a a n n a a a a a a n
+++++≥ ，即要证明：
n
a a a a a a a a a a a a n
n n n ++++≥++21212211ln
)(ln ln ln 。

设函数
0,ln )(>=x x x x f ，求得1ln )(+='x x f ，
x
x f 1
)(=
''，由于
0)(,0>''>x f x 从而有，因此，)(x f 在定义域0>x 上为凹函数，则由凹函
数的性质可知： )()()()(,02121n
a a a f n a f a f a f a n
n i
++≥++>∀有
，从而有
n a a a n a a a n a a a a a a n
n n n ++++≥++21212211ln
ln ln ln 成立，即n
a a a a a a a a a a a a n
n n n ++++≥++21212211ln
)(ln ln ln .
因此，原不等式成立.。