第二章 信号的描述与分析补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2x ψ和概率密度函数p (x )。

解答： (1)00011lim ()d sin()d 0TT x T μx t t x ωt φt TT →∞==+=⎰⎰，式中02πT ω=—正弦信号周期(2)2222220000111cos 2()lim()d sin ()d d 22TT T xT x x ωt φψx t t x ωt φt t TT T →∞-+==+==⎰⎰⎰(3)在一个周期内012ΔΔ2Δx T t t t =+=0002Δ[()Δ]limx x T T T tP x x t x x T T T →∞<≤+===Δ0Δ000[()Δ]2Δ2d ()limlim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====正弦信号x2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为00 (0)2() (0)2T A t x t T A t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩积分区间取（-T/2，T/2）00000002202002111()d =d +d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )L T T jn tjn tjn t T T n c x t et Aet Ae tT T T Ajn n n ωωωππ-----=-±±±⎰⎰⎰所以复指数函数形式的傅里叶级数为001()(1cos )jn tjn t n n n Ax t c ejn e n∞∞=-∞=-∞==--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nInR A c n n n c ⎧=--⎪±±±⎨⎪=⎩L ππ21,3,,(1cos )00,2,4,6, n An A c n n n n ⎧=±±±⎪==-=⎨⎪=±±±⎩L Lπππ1,3,5,2arctan 1,3,5,200,2,4,6,nI n nR πn c πφn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪⎩L L L没有偶次谐波。

其频谱图如下图所示。

图1-4 周期方波信号波形图2-5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。

解：(2)22022(2)()()(2)2(2)a j f tj f tat j f te A A a jf X f x t edt Ae edt Aa j f a j f a f -+∞∞---∞-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ 22()(2)k X f a f π=+Im ()2()arctanarctanRe ()X f f f X f a==-πϕ2-6 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0ωt t T x t t T⎧<⎪=⎨≥⎪⎩解：0()()cos(2)x t w t f t =π w (t )为矩形脉冲信号()2sinc(2)W f T Tf =π()002201cos(2)2j f tj f t f t e e πππ-=+ 所以002211()()()22j f t j f t x t w t e w t e -=+ππ单边指数衰减信号频f|X (fA /φ(f )fπ/-π/2|c n | φnπ/2 -π/2 ωωω0ω0 3ω05ω03ω0 5ω02A/π2A/3π 2A/5π 幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0-3ω0-5ω0-ω0 -3ω0-5ω0 图1-26 被截断的余弦ttT-TT -T x (t ) w (t )10 1-根据频移特性和叠加性得： 000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。

也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

2-6求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解2-7 求指数衰减信号0()sin at x t e ωt -=的频谱解：()0001sin()2j t j tt e e j-=-ωωω指数衰减信号x (t )f X (f )Tf 0-f被截断的余弦函数频⎩⎨⎧≥<=T t Tt t t x ;0;cos )(0ω()[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dte e e dt tef dt e t x f X ft j t f j t f j T T TTft j ftj所以()01()2j t j t at x t e e e j--=-ωω单边指数衰减信号1()(0,0)at x t e a t -=>≥的频谱密度函数为11221()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞∞----∞-====++⎰⎰ωωωωω根据频移特性和叠加性得：[]001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤---+=--+=-⎢⎥+-++⎣⎦--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2-9 求h (t )的自相关函数。

{(0,0)()0(0)atet a h t t -≥>=< 解：这是一种能量有限的确定性信号，所以()01()()()2at a t a h R h t h t dt e e dt e aττττ∞∞--+--∞=+==⎰⎰ 2-10 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。

图5-24 题5-3图指数衰减信号的频谱解法1：按方波分段积分直接计算。

00344304411()()()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()T Txy T TT T T R x t y t dt x t y t dt T T t dt t dt t dt T τττωωτωωτωωτωτπ=+=-⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰g 解法2：将方波y (t )展开成三角级数，其基波与x (t )同频相关，而三次以上谐波与x (t )不同频不相关，不必计算，所以只需计算y (t )的基波与x (t )的互相关函数即可。

411()cos cos 3cos 535y t t t t ωωωπ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭L L 所以[][]00000114()()()sin()cos()41sin()sin()22sin(2)sin()220sin()sin()T T xy T T T R x t y t dt t t dtT T t t t t dt T t dt dt T T T ττωωωτπωωωτωωωτπωωτωτπωτωτππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭=-+++--⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰解法3：直接按R xy (τ)定义式计算(参看下图)。

034430441()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()Txy TTT T T R x t y t dt Tt dt t dt t dt T ττττττωωωωτωτπ----=+⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰gy (参考上图可以算出图中方波y (t )的自相关函数41024()32()0,1,2,y y T T T R TTR nT n ττττττ⎧-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+=±±⎩L L2-11 某一系统的输人信号为x (t )（见图5-25），若输出y (t )与输入x (t )相同，输入的自相关函数R x (τ)和输入—输出的互相关函数R x (τ)之间的关系为R x (τ)=R xy (τ+T )，试说明该系统起什么作用？解：因为R x (τ)=R xy (τ+T )所以0011lim ()()lim ()()T T T T x t x t dt x t y t T dt TTττ→∞→∞+=++⎰⎰所以x (t +τ)=y (t +τ+T )令t 1 = t +τ+T ，代入上式得x (t 1 - T )=y (t 1)，即y (t ) = x (t - T )结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T 时间。

2-12 已知信号的自相关函数为A cos ωτ，请确定该信号的均方值ψx 2和均方根值x rms 。

解：R x (τ)=Acos ωτ ψx 2= R x (0)=Arms x ==2-13已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值rms x 。

2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值x μ、均方根值 、功率谱。

图5-25 题5-4图方波的自相关函数2-15已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。

解：采样序列x (n )()11111000()()()cos 2()cos ()24N N N s s s n n n n n x n x t t nT nT t nT t πδπδδ---===⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭∑∑∑2-18 对三个正弦信号x 1(t )=cos2πt 、x 2(t )=cos6πt 、x 3(t )=cos10πt 进行采样，采样频率f s =4Hz ，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x 1(t )、x 2(t )、x 3(t )的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。