《测试技术与信号处理》习题答案第二章 信号分析基础1、请判断下列信号是功率信号还是能量信号： （1）)()(10cos2∞<<-∞=t e t x tπ （2）)()(||10∞<<-∞=-t e t x t【解】（1）该信号为周期信号，其能量无穷大，但一个周期内的平均功率有限，属功率信号。

（2）信号能量：⎰∞∞-==101)(2dt t x E ，属于能量信号。

2、请判断下列序列是否具有周期性，若是周期性的，请求其周期。

)8()(π-=n j e n x【解】设周期为N ，则有：8)88()()(N jNn j en x eN n x ⋅==+-+π若满足)()(n x N n x =+，则有1)8/sin()8/cos(8/=-=-N j N e jN即：k N π28/=，k N π16=，k = 0，1，2，3，… N 不是有理数，故序列不是周期性的。

3、已知矩形单脉冲信号x 0(t)的频谱为X 0(ω)=A τsinc(ωτ/2) ，试求图示三脉冲信号的频谱。

【解】三脉冲信号的时域表达式为：)()()()(000T t x t x T t x t x -+++=根据Fourier 变换的时移特性和叠加特性，可得其频谱：)]cos(21)[2(sin )()()()(000T c A e X X e X X T j T j ωωττωωωωωω+=++=-4、请求周期性三角波（周期为T ，幅值为0—A ）的概率分布函数F(x)与概率密度函数p(x) 。

【解】在一个周期T 内，变量x (t )小于某一特定值x 的时间间隔平均值为：T Ax t i =∆ 取n 个周期计算平均值，当∞→n 时，可有概率分布函数：AxnT t n x F i n =∆=∞→lim)( 概率密度函数：Adx x dF x p 1)()(==t-τ/2 0 τ/2 -T T5、请求周期性方波的自相关函数。

（设周期为T ，幅值为0—A ）【解】对周期函数，可取一个周期求自相关函数，但由于函数的不连续性，必须分段积分，如图：当2/0T ≤≤τ时（图a ）])()()()([1)()(1)(222020⎰⎰⎰⎰⎰----⋅-+-⋅-+-⋅+⋅=+=T T T T TT T Tx Adt A dt A A dt A A Adt A T dt t x t x T R ττττττ 即：)41()(2TA R x ττ-=当T T ≤≤τ2/时（图b ）])()()()([1)(23232/2/0⎰⎰⎰⎰-----⋅-+⋅-+⋅+-⋅=T T TT T T T x dt A A Adt A Adt A dt A A T R τττττ即：)43()(2TA R x ττ--=第三章 信息论基础知识1、某装置的正常工作温度保持在35—40℃之间。

在35 ℃以下时停止使用，等待升温；在40 ℃以上时，也停止使用，进行强制冷却。

已知25%的时间在35 ℃以下，5%的时间在40 ℃以上。

求以下三种生产报告所具有的信息量：（1）“不能使用”；（2）“能使用”；（3）“因为装置在冷却中不能使用”。

【解】（1）“不能使用”的情况所占时间为25% + 5%，故信息量为：74.13.0log )(2=-=a x I bit （2）“能使用”的情况所占时间为70%，其信息量为：51.07.0log )(2=-=b x I bit （3）“因装置冷却不能使用”所占时间为5%，其信息量：32.405.0log )(2=-=c x I bit2、即将举行甲—乙、丙—丁两场足球赛，根据多次交锋记录，甲—乙间胜球比例为8:2，丙—丁间胜球比例为5:5。

试比较两场球赛的不确定性。

你将选看哪一场比赛？为什么？ 【解】甲-乙、丙-丁两场比赛的信源空间：2.08.0)()()](,[21x P x P x P X i =、5.05.0)()()](,[21y P y P y P X i =信息熵分别为：7219.02.0log 2.08.0log 8.0)(22=--=x H bit 15.0log 5.05.0log 5.0)(22=--=y H bit丙-丁比赛的不确定性大（信息熵大），势均力敌，胜负难测，一量赛完，所获信息量大，希望看。

3、某机器的故障率为6%，其原因分析为：机械方面的占32%，电气方面的占12%，材料方面的占56%。

考查“是机械故障”这一消息的信息量以及对于预先知道有故障的人得到“是机械故障”这一消息的信息量之间的差别。

【解】（1）事先不知道是否有故障的人得到“是机械故障”这一消息所获得的信息量：703.5)32.006.0(log )(2=⨯-=x I bit（2）事先知道有故障的人得到“是机械故障”这一消息所获得的信息量：684.1)32.0(log )(2=-=y I bit前者所获得的信息量大。

4、一帧黑白电视图像是由500行和600列的像点所组成，有10种不同的黑白亮度，如各种不同组合的图像出现的概率相等，问出现一种图像时其熵值多大（即确定性程度）？【解】根据题意，一幅图像有500×600个点，每个点都有均等机会出现10种不同的黑白亮度，所以共有10500×600种可能的电视图像，每种图像出现的机会相等，其概率为P=1/10500×600，故系统的熵为：6600500122210)10(log log 1log 1)(≈===⨯=∑Ni N NN x H bit第四章 信息转换与传输1、有两个温度计，一个响应快，能在5秒钟内测完，但精度较差，只有3℃；另一个响应慢，需要1分钟才能测完，但精度高，达到1℃。

温度测定范围都在20~52℃之间。

问哪一个温度计能提供更多的信息？【解】被测温度是一个均匀分布的是x ，处于（20~52）℃（或a ~b ）之间。

测量结果的示值为x d ，其误差也是均布的，分布区间为d ，它决定于仪表测量精度。

每测量一次所获得的信息量为：I =H (x )-H (d )式中H (x )是测量前被测量x 的熵；H (d )是测量后测量误差d 的熵，故有：32log )(log )(22=-=a b x H ；d d H 2log )(=用第一种温度计测量时，每测一次，单位时间内获得的信息量为：684.0)3log 32(log 51)]()([51221=-=-=d H x H C （bit/S ）用第二种温度计测量时，每测一次，单位时间内获得的信息量为：12/1)1log 32(log 601)]()([601222=-=-=d H x H C （bit/S ）2、已知一测量系统的频响函数为H(ω)=1/( j ω+1)。

试分析当测定信号x(t)=sint+sin3t 时，有无波形失真现象。

【解】计算过程（略）输出信号：)523sin(101)4sin(21)(ππ-+-=t t t y在所测频率范围内，存在幅值失真和相位失真现象，输出波型会发生畸变。

3、已知信道频率特性造成的信息熵的变化关系为：ωωωωd H x h y h aa20|)(|log 21)()(⎰+=，式中h (y )、h (x )分别表示输出与输入信号的熵；积分项是由于信道频率特性产生的熵的变化量。

试求信号通过具有如图所示特性的信道时熵的损失量，并讨论输入频率限制在ω1以内和ω2以内的情况。

【解】 （1）在ω1以内时，1|)(|2=ωH ， 故损失的信息量为：0|)(|log 21)(02==⎰ad H h aωωωωω（2）在ω2以内时：)1log()1(21|)(|log 21)(212122ωωωωωωωωωω-+-+==⎰ad H h a可以看出，损失的熵决定于21ωω-的大小，其值越大，损失的熵也越大。

1230.51 2第五章 模拟信号分析1、已知余弦信号x 2(t )=cos ω0t 被三角脉冲x 1(t )做幅度调制，求调幅信号x a (t )=x 1(t )x 2(t )=x 1(t )cos ω0t 的频谱。

已知如图所示三角脉冲的Fourier 变换为：)4/(sin 2)(21ωττωc A X = 【解】=--+=)]()([21)(0101ωωωωωX X X a2、已知一理想低通滤波器，其|H (ω)|=1，ϕ(ω)=4×10-6ω，截止角频率ωc =6×105 rad/s 。

如果在输入端加一个12V 的阶跃信号作为激励，试求：（1）激励信号加入6μs 后滤波器输出信号的幅度；（2）滤波器输出信号上升到6V 时所需要的时间。

【解】（1）理想低通滤波器在阶跃信号激励下，其输出信号的幅值为：)]}(sin[121{)(00τωπ-+=t A t y c u因为：V A 120=，S 60104-⨯=τ，S rad c /1065⨯=ω，所以，t =6μs 时，)(23.10)(V t y u =（2）设输出上升到6V 时所需时间为t x ，则有：6)]}(sin[121{12)(0=-+=τωπx c u t t y求解得：)(10460S t x -⨯==τ第六章：数字信号处理1、已知周期单位脉冲序列为：∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδ，试求其与三角脉冲函数x (t )的卷积。

【解】∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=-*=-*=*n n n T nT t x nT t t x nT t t x t t x )()]()([)]([)()()(δδδ此式表明，三角脉冲函数x (t )与周期脉冲序列的卷积仍然是一个周期序列，每个周期内的波形与原信号x (t )相同。

2、已知数字序列为{x (n )}={1,2,-1,3}。

（1）直接用DFT 求序列的频谱X (k )，再由求得的结果X (k )求其逆变换x (n )； （2）用FFT 方法按流程图求X (k )，再以所得X (k )利用IFFT 求x (n )。

【解】（过程略）{X (k )}={5, 2+j , -5, 2-j }3、编写基2 FFT 运算子程序。

【解】（略）。