二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。

证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1)()(lim 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。

注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。

注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。

【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

解：利用指数函数的导数，自己做。

三、初等函数的求导公式1、常数和基本初等函数的求导公式：（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ⋅=' （8）x x x cot csc )(csc ⋅-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =' （12）xx 1)(ln =' （13）211)(arcsin xx -=' （14）211)(arccos xx --='（15）211)(arctan x x +=' （16）211)cot (xx arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）xch thx 21)(=' （20）11))1(ln()(22+='++='x x x arcshx（21）11))1(ln()(22-='-+='x x x arcchx（22）211)11ln 21()(xx x arcthx -='-+='四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且)()(000x u f dxdyx x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=证明： 000000)()()()(lim ))(())((lim00x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0000)()(lim )()(lim00x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。

注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：)())(())((x x f dxx df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dx dudu dy dx dy ⋅=。

2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。

3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。

【例3】求xy 1arctan =的导数。

解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1=复合而成，211)(arctan u u +='，21)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x xx y +-=-⋅+='='⇒。

【例4】求μx y =（μ为常数）的导数。

解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。

所以111)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμx x xx e x v e x y u 。

这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。

在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】21x y -=，求y '。

解：22221221)1(1121])1[()1(xxx x x x y --='-⋅-⋅='-='-='。

【例6】x e y sin 1-=，求y '。

解： xx e x eey xxxsin 1)sin 1(21)sin 1()(sin 1sin 1sin 1-'-⋅⋅='-⋅='='--- xxexx xx e sin 1sin 1sin 1cos 21sin 1cos 21----=--⋅=。

【例7】))1cos(2arcsin(2-=x y ，求y '。

解：))1cos(2()]1cos(2[11))1cos(2(arcsin(2222'---='-='x x x y=)1()]1sin([2)1(cos 4112222'-⋅--⋅--x x x=)1(cos 41)1sin(42)1(cos 41)1sin(2222222----=⋅----x x x x x x 。

【例8】))2tan ln(ln(ln xy =，求y '。

解：)2tan (ln 2tanln 1)2tan ln(ln 1))2tan (ln(ln )2tan ln(ln 1'⋅='⋅='xx x x x y)2(2cos 12tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 1)2(tan 2tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 12'⋅⋅⋅⋅='⋅⋅⋅=x x x x x x x x x2tanln ln 12tan ln 1sin 12tanln ln 12tan ln 12tan 12cos 1212xx xx x x x ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=。

【例9】])()[(21)(21)2('-'='-='-='---x x x x x x e e e e e e x h s ][21)]1([21xx xx e e e e --+=--=， 即chx x h s ='。

同理，shx x h c ='。

【例10】)1ln(2x x y ++=，求y '。

解：)1(11])1[ln(222'++⋅++='++='x x x x x x y)1(11211[11222'+++++=x x x x)(11)12211(11222'=+=++++=arshx xx x x x 。

同理： )(11)1(ln(22'=-='-+archx x x x 。

小结：1 、函数的四则运算的求导法则： 设)(),(x v v x u u ==，则(i)v u v u '±'='±)( (ii)u c cu '=')((iii)v u v u uv '+'=')( (iv)2)(vv u v u v u '-'=' )0(≠v2、复合函数的求导法则：设))(()(),(x f y x u u f y ϕϕ=⇒==的导数为： dxdudu dy dx dy ⋅= 或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dxx d duu df dx x df x u )()())(()(ϕϕϕ⋅==。