第四章 根轨迹法
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假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
GsH s
K s s
z1 s z2 p1 s p2
s s
zm pn
,
n
m
式中K 0;z1,z2
z
为开环零点,在s平面用“o”表示,
m
p1, p2 pn为开环极点,在s平面用“x”表示。

令s zi pie ji , i 1,2, m
第四章 根轨迹法
1948年伊凡思提出求解闭环特征方程的根的图解方 法——根轨迹法。
考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已 知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如 放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。
用途：① 对系统的性能进行分析；
② 确定系统具有的结构、参数；
③ 进行设计和综合。
s pl rle jl , l 1,2, n
则上式改写为：
m
G s H s K
m
n
i
i
j
i
e
i1
l1
e n
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r 第四章 根轨迹法
l
9
l 1
m
G s H s K i
i
j
m
i
n
e
e i1 l 1
n
rl
l 1
GsHs 1
于是得： 幅值条件 相角条件
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相角条件: 根轨迹的幅值条件与相角条件
m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
k=0, ±1,
±2, …绘制根轨m迹的充要条件
1+KK = ∏j=1∏(jm=s1︱- szj-)z︱j n
幅值条件: ∏i=1∏(ns︱-psi-)p︱i
=-011
i=1
2020/6确/1 定根轨迹上某第四点章 对根轨应迹法 的K值
3
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如下表所示。
K
0 0.25
0.5
1
…
∞
s1
0
-0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 …
0.5+j∞
s2
-1
-0.5
-0.5-j0.5 -0.5-j0.87 …
-0.5-j∞
根轨迹简称根迹,它是开环系统 某一参数从零变到无穷时,闭环 系统特征方程式的根在s平面 上变化的轨迹.是闭环极点的集 合.
由上式可知，凡是满足方程
GsHs 1
的s值，就是该方程的根，或是根轨迹 上的一个点。由于s 是复数，故有：
G s H s e j{argGsH s} 1e j2k1 , k 0,1,2,
于是得：
GsHs 1 根轨迹幅值条件
argGsHs 2k 1,k 0,1,2, 根轨迹相角条件
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0.707 由于 arccos 45o，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -0.5±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
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第四章 根轨迹法
图4-2 系统的根轨迹
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根轨迹概念 特征方程： S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
s1, 2
1 2
1 2
1 4K
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第四章 根轨迹法
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s1, 2
1 2
1 2
1 4K
对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
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第四章 根轨迹法
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根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0
Zj 开环零点“○”,是常数！
m
1+K
∏
j=1
(
s
-
zj)
n
=
0
∏ ( s-pi)
p i=1
开环极点“×”,
根轨迹增益K ，不是定数i，从也是0 常~ 数∞！变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程 2020/6/1
第四章 根轨迹法
( 3)2 2 (4K)2
满足相角条件：实轴（-∞，-3）
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第四章 根轨迹法
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结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于 相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一 般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
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第四章 根轨迹法
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对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
➢如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为4%。 由超调量公式求得
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例3 求如图所示系统的根轨迹
解：
1）用相角条件绘制根轨迹
Gs
K
ss
1
arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
用试探法寻求S平面上满足相角条件的点
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第四章 根轨迹法
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arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
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第四章 根轨迹法
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第四章 根轨迹法
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本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 利用根轨迹分析闭环系统
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第四章 根轨迹法
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4.1 根轨迹法的基本概念
一:根轨迹图
例 1 闭环特征方程式
s2 s K 0
方程式的根为
s1, 2
1 2
1 2
1 4K
K从0到无穷时
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第四章 根轨迹法
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根
k=0.5 时，s1=s2=－1
0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1
j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变；
-2
-1
0
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K一停，一组根第停四章； 根轨迹法
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演示rltool
二:根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程： 1 GsHs 0
用试探法确定根轨迹16
Gs
K
ss
1
arg s arg s 1 2k 1 , k 0,1, 2,L
m
i
GsH s K
i 1 n
rl
l 1
m
n
i l 2k 1 , k 0,1,2,
i 1
l 1
相角条件是点在根轨迹上的充分必要条件。
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第四章 根轨迹法
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例2:设一控制系统的框图如图所示，由根轨迹的幅值条件得： 4K 1 s3
即
4 1 s3 K
（4-10）
令 s j,则式(410)可化为