第四章 根轨迹法
2018/9/10
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本章主要内容

根轨迹的基本概念
根轨迹的绘制准则
特殊根轨迹
利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
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根轨迹意义
概述
我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分 布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复 平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法—根轨迹法。 将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特 征根的关系表示在一张图上。
[讨论]：① kg 0时，s1,2 0和-1，是开环系统的极点；
② kg 时，s1从0沿负实轴向左移动 ，s2从 -1沿负实轴向右移动。
1 1 1 ③ k g 时，s1, 2 - ，重根。可见当 0 k g 时，s1, 2 在负实轴上。 4 2 4 1 1 ④ k g 时，s1, 2为复根。在 - 点处分成两支，沿平行 于虚轴的 4 2 1 直线移动。 ⑤ k g 时， s1, 2 - j
开环传递函数为： Gk (s) G(s) H (s)
Gk ( s) k g 将 Gk (s)写成以下标准型，得：
式中： k g - 传递系数，或称为跟轨
-z i， -p j 为开环零极点。
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
迹增益；
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根轨迹定义

kg
j1
A

A'
B
A2
-1
0 .5 0 k g 0

A1
kg
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中， - j1 A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为 A1和 A2 根据相角条件(试探法)： kg -s - ( s 1) - OA- BA A1 A2 (2k 1) s( s 1) A1 A2 ，A点在 显然，只有三角形OAB是等腰三角形时， ' 根轨迹上。 A点显然不在根轨迹上。

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根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统， 绘制系统的根轨迹。 当kg从0 时， kg kg R( s ) [解]闭环传递函数： (s) 2 s s kg s( s 1) 特征方程和特征根：
C (s)
s s k g 0，s1, 2
2
1 1 - 1 - 4k g 2 2
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[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。 180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨 迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g值，所以直接称180度等 相角根轨迹为根轨迹。 在根轨迹上的已知点求该点的 k g 值的例子。上例中，若A点的坐 标是0.5+j2，则根据幅值条件：
称Gk ( s) -1或：k g
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
-1为根轨迹方程。
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根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk ( s )是复数，上式可写成： | G k ( s ) | Gk ( s ) - 1 或k g
| (s z ) |
利用根轨迹法，可以：
分析系统的性能
确定系统的结构和参数 校正装置的综合
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第一节 根轨迹的基本概念
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根轨迹基本概念
系统的结构图如下：
R( s )
-
G (s)
C (s)
闭环传递函数为： ( s)
G( s) 1 G( s) H (s)
H (s)
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根轨迹解析法绘制
[总结]当 k g 从0变化到 时，系统的根 轨迹是连续的。 k g 0 的点称为起点， k g 的点称为终点。本例中有两个分 支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于 高阶系统，求根困难，需用图解法画图。
kg 0
s 1 s
i
m
| (s p ) |
j j 1 n j 1
i 1 n
1
( s zi ) - ( s p j ) (2k 1) , k 0,1,2...
m
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
i 1
”表示开环极点，“ ”表示 [一些约定]：在根轨迹图中，“ 开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的 方向。“ ”表示根轨迹上的点。 我们先以根轨迹增益 k g （当然也可以用其它变量）作为变化量 来讨论根轨迹。
1 Gk (s) 0 的根。 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：
换句话说，满足： Gk ( s) -1或：k g 的极点，闭环特征方程 的根。
(s z )
i i 1 n j j 1
m
(s p )
-1的点就是闭环系统
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
kg s ( s 1) s -0.5 j 2
1， k g 4.25
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小结


根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度等相角根轨迹，等增益根轨迹 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
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