层分别被对方和 Al Sb 层限制, 导致在 Ga Sb 中形成的能量最高的 空穴型量子阱子带处于 In As 中形成的能量最低的电子型量子阱子 带之上, 这个能带反转导致了系统的拓扑非平庸的性质。并且在实验 上杜瑞瑞研究组在这个体系中观测到了量子自旋霍尔效应的行为， 证 实了其二维拓扑绝缘体的性质。 ）之后理论物理学家又预言了具有接 近二维蜂窝结构的 Bi、Si、Ge、Sn 等元素的单层或几层薄膜是二维拓 扑绝缘体。 并且有些材料已经被实验证实具有二维拓扑绝缘体的性质。
/ ve2
, 其中
ћ 为普朗克常数, e 为电子电量, v 为一个整数。 在图中我们可以看到， 在对应的每个平台上，纵向电阻为零，这意味着电子在平台上可以作
无电阻的运动。现在我们讨论量子霍尔系统的拓扑特征，它是由被填 充的朗道能级数目 V 决定的， 并且样品的霍尔电阻是由其拓扑特征和 量子化常数 ћ/ve2 决定的，与具体材料无关，与样品是否纯净无关。 因此霍尔电组的大小对样品细节是不明感的。 对于在量子霍尔效应中为什么会有纵向电阻为零的情况， 其原因 为量子霍尔效应边缘态的特点是手征性的， 也就是说在磁场一定的情 况下，电子只能沿着样品的边缘往一个方向，这使得电子无法被杂质 或晶格震动散射到反方向运动的量子态。
拓扑是数学中的一个概念， 他是研究几何物体在连续的形变中保 持不变的量，它的特点是对于细节和连续变化不敏感。如图中所示， 对于不同属性的橘子和碗，面包圈和茶杯，他们两两具有相同的拓扑 数，他只是与洞的数目有关，而与其他的性质无关。就像对于茶杯和 碗，虽然他们同属一类，都是陶瓷，但是由于他的洞数不同在拓扑学 中就理解为不同的拓扑。这个概念推广到我们的材料中，我们可以使 材料的物理量或量子态决定它的拓扑特征， 通过对这些拓扑特征的获 取，我们就可以获得材料的缺陷、杂质等细节不明感的物理性质或量 子态。 第二整数量子霍尔效应 整数量子霍尔效应是在 1980 年，Klaus von Klitzing 在研究半导体 异质界面处的二维导电层在低温、强磁场环境下的输运性质时发现 , 其霍尔电阻在强磁场下偏离与磁场的线性关系 , 呈现出阶梯形状的 现象。且每个阶梯平台所对应的电阻值精确满足
下面让我们来看看拓扑绝缘体可以应用在那些方面， 首先由于他 的表面无电阻特性， 我们可以将其应用在低能耗和高速晶体管的生产 上， 这可能将大大缩小计算机的体积。 也可以应用在自旋电子学器件、 拓扑量子计算、基于拓扑磁电效应的磁存储器件。由于拓扑绝缘体奇 特的特性它还可以应用在量子反常霍尔效应和寻找 Majorana 费米子 上。 我们着重介绍一下他在量子反常霍尔效应中的应用。 刚刚提到过 在自旋量子霍尔效应中， 它的时间反演对称性是可以保证弹性散射的 不发生， 但是却无法保证在不具有时间反演对称性的非弹性散射过程， 因此实际的量子自旋霍尔效应只有在样品尺寸小于非弹性散射平均 自由程时才能观测到。因此，在受到铁磁材料中反常霍尔效应的启发 下，科学家们通过在拓扑绝缘体中引入铁磁性，破坏其时间反演对称 性，使其在上下表面态的狄拉克点处各打开一个能隙，从而上下表面 态具有不同的拓扑性质。在这种情况下，手性的边缘态会在上下两个 不同拓扑相边界的薄膜侧面出现， 当费米能级同时处于上下两个表面 能隙之间时，反常霍尔电阻就被量子化，这就可以观测到量子反常霍 尔效应了。
那么在实际中我们能否找到一种材料， 使他既具有绝缘体的无能 耗特点，也具有金属导电的性质？ 答案是肯定的， 在最开始人们就发现超导体在一定低的温度下具 有这样的性质，但是由于需要的条件较为苛刻，现在还没有在实验室 温度下使用。随着整数量子霍尔效应、分数量子霍尔效应，自旋量子 霍尔效应以及后来反常量子霍尔效应的发现让这一切变得可能！ 为了让大家更好的理解什么是拓扑绝缘体， 我首先给大家介绍几 个概念。 第一什么是拓扑？
我们知道在我们周围的世界中存在导体和绝缘体， 在绝缘体材料 当中， 电子保持在每个原子或相邻原子间形成化学键附近的微观尺度 内做局域运动。这种运动虽然没有能耗，但是他却无法传达宏观的电 流。 而对于导体中的电子是可以运动较长的距离， 可以传导宏观电流， 但是在电子长距离的运动过程中容易被杂质或晶格震动散射到不同 的量子态，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就导致了能量的损耗！
2e2 / ，时间反演不变
的自旋霍耳系统的边缘态存在两个通道，因此中间层能带反转材料 Hg Te 起主要作用。此时的样品只有边缘态参与了导电。 在图中，a、b、c 代表的是第一种情况下的超晶格、能带结构、 电导。d、e、f 是第二种情况的自旋量子霍尔效应。我们看到在第二 种情况下能带结构表现出了两支自旋取向不同的边缘态从导带一直 延伸到价带，并在ｋ＝０处相交，且在交点处自旋是简并的。再对比 c 和 f，对应的最大电导为
在三维拓扑绝缘体中有一种简单判别方法是通过角分辨光电子 能谱确定布里渊区两个时间反演不变点间表面态穿越费米能级的次 数确定: 奇数次为拓扑绝缘体, 偶数次为普通绝缘体。并且利用这种 判别方法 Z. Hasan 研究组验证了 Fu 和 Kane 预言 Bi1-xSbx 合金材料是 一种三维拓扑绝缘体。由于 Bi1-xSbx 材料的体能隙较小，只有大概 10me V 左右，很容易受热激发的影响；而且，这是一种合金材料， 相对组分不易精确控制而且容易在合成过程中引入杂质。 于是张首晟、 方忠和戴希、Hasan 等人又找到了更好的一类三维拓扑绝缘体材料， 那就是 Bi2Se3 家族拓扑绝缘体，即 Bi2Se3，Bi2Te3 和 Sb2Te3。并且从理 论和实验上都证明了他是具有较好的狄拉克锥的结构。 这个图是张首 晟他们在预言这三种材料时用 LDOS 计算得出的模拟图，从图中我们 可以清晰地看到狄拉克椎的形状。 在这之后人们又预言了许多三维拓 扑绝缘体材料，并且有些已经被证实，这里我们就不一一做介绍了。
三维拓扑绝缘体的体态是绝缘性的， 边界上存在着与一维边缘态 所对应的二维表面态。它的特点为在其表面态的布里渊区中存在 4 个时间反演对称的点，这些特殊的点上会出现 Kramers 简并，形成 狄拉克锥结构。 三维拓扑绝缘体材料可以通过四个 Z2 拓扑数来分类， 即表面布里渊区中狄拉克点数目的奇偶性决定了绝缘体的拓扑类别。 其分类为拓扑绝缘体的带隙只能存在奇数个狄拉克锥， 而且是自旋分 辨的。(狄拉克锥的顶点称为狄拉克点，狄拉克点附近能量与动量之 间满足线性的色散关系，由狄拉克方程所描述.)
现在让我们来真正了解一下什么是拓扑绝缘体。 在定义上拓扑绝缘体是在强的自旋轨道耦合的作用下， 拓扑绝缘 体的体能态是绝缘体性的，表面则是金属性的。这个图形象的描绘了 拓扑绝缘体的形态，他就像是在碗的边缘镀了一层金属导体。它的特 点是这种无能隙的表面态完全由体电子态的拓扑结构所决定， 在时间 反演对称性的保护下，不会受到杂质和无序的影响。在实验中主要的 研究有二维拓扑绝缘体和三维拓扑绝缘体。 其中通过张首城研究组预 言， 德国的 Molenkamp 研究组试验验证的 Gd Te/Hg Te/Gd Te 超晶格 二维拓扑绝缘体是实验上第一次观测到的拓扑绝缘体。 它的具体实验 是通过 MBE 的生长办法制备出了不同厚度的 Gd Te/Hg Te/Gd Te 超晶 格， 中间层的厚度为 d， 并且他们在零场的情况下， 测出中间层 Hg Te 存在一个临界宽度 dc。 当 d < dc 时，样品几乎处于绝缘态，表现为半导体。 当 d > dc 时，样品具有了两倍量子电导
2e2 / ，从而验证了二维拓扑绝缘体。
对应于 Gd Te/Hg Te/Gd Te 超晶格的难于制备和热稳定性差， 含毒 性元素，不利于大规模生产和应用等缺点。在 2008 年, 张首晟研究 组 预 言 了 一 种 基 于 传 统 III-V 族 半 导 体 的 二 维 拓 扑 绝 缘 体 材 料 AlSb/InAs/GaSb/AlSb， （在这个材料中 Al Sb 是宽能隙半导体构成的势 垒层, In As 和 Ga Sb 是窄能隙半导体。 在这个结构中, Ga Sb 与 In As
第三自旋量子霍尔效应 在量子霍尔效应中我们需要人为引入几个特斯拉的强磁场， 这对 于真正实现应用有较大的困难， 于是科学家们就思考我们如何去去掉 强磁场，这就诞生了自旋量子霍尔效应。它是在不加外部磁场的情况 下， 材料依靠自身的自旋轨道耦合， 强自旋轨道耦合将导致能带反转。 能带翻转后，材料能隙中将会产生一对边缘态，两支边缘态具有相反 的自旋并且交于一点的现象。 它同量子霍尔效应最大的区别在于引入 了强的自旋轨道耦合来代替了外加的强磁场。 在自旋量子霍尔效应中他是受时间反演对称性保护的， 在这种包 护下电子可以在边缘态沿两个方向走， 它们沿两个相反方向的电子数 目相等， 因此没有净电荷电流产生。 但是在表面边缘将出现自旋电流， 且上下自旋电子产生的电流反向传播。 自旋量子霍尔效应是在理论先于实验的前提下证实的。在 2006 年，张首晟的研究组提出了一种实现量子自旋霍耳效应的一般理论， 并预言了 Hg Te/Gd Te 超晶格结构可以实现量子自旋霍耳效应。 而就 在下一年， 德国的 Molenkamp 研究组通过实验证实了这一理论预言。