求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度
解：
T 0 T v0
M
m
Mg v mg v
m
( T Mg )Δ t =M v 0
M
h
( T mg )Δ t = mv ( mv0)
三、质点系的动量定理
F1
1. 推导
Σ
Σ t2
t1
Fi 外
dt
t2 t1
Fi 内
dt
F2
F21 F12
2
1
F13 F31
F23 F32 3
且（d + r）< R 。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标y。
解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。
R
用挖补法
1.先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
xC总 0
C
x·c O
O′
x
r
d
2. 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 d
y
m总xC总 m挖 xC挖
m剩 xC剩
R
C
x·c O
O′
r
x
3. 则剩余部分的质心位置 d
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落 下，它与工件的碰撞时间为τ =0.01s,
求：打击的平均冲力。
(N mg )τ = 0 ( m v0 )
v0 2gh
m 2gh
N
mg
显然，越小，N越大
mN v0
hm
m
0
工件 mg
[ 例2 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳子 与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。
xC
0 d r2 R2 r2
d
R / r2
1
三、质心运动定律
质点系的运动可用全部质量集中在质心的质点来描述
1.推导
N
P i 1
质点系总动量
i
N
mivi
i 1
N i 1
midri
dt
d
N
mi
ri
i 1
dt
d (mrc )
dt
m drc
dt
mvc
质点系总动量
第二章 运动的守恒量和守恒定律
2 - 1 质心 质心运动定理
一、质点系的内力和外力
内力总是成对出现，矢量和为零
质点系的合力：
F2
F21 F12
2
F1
1
F13 F31
F F外 F内 F外
F23 F32 3
F3
二、质心
N个粒子系统（质点系），
mi ri
1.定义 质量中心
z mi
rc C ri
x
F
dP
dt
p mvc
F mac
2.内容
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ，
则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
Fi外dt
mivi2
mivi1
若 Fi外 0 即外力矢量和为零
则：
mivi C
2. 动量守恒定律
1)内容：质点系所受合外力为零时，质 点系总动量保持不变
------ 动量守恒定律
2)说明：
(1). 守恒条件必须是
F合外力 0
而非
t
0 F合外力dt 0
(2). 常用分量守恒
若 Fx 0 则 px p0x
t2 Fdt t1
v2 d (mv )
v1
mv2 mv1
t2 t1
Fx dt
mv2 x
mv1x
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
2.平均冲力 ：
t2 t1
Fx dt
Fx
t2 t1
Fx
Fx 0 t1
t2
t
用平均冲力表示的动量原理为：
Fx t2 t1 mv2x mv1x
(3). 只适用于惯性系
(4). 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本
例，已知: m，M， = 0，
车速 v0 及人对车的速度 u 求：人跳离瞬时车速 v
(m M )v0 Mv m(v u)
v
v0
mu mM
u
v0
选 m+M 质点系
=0
作业
1.32,1.33,2.3,2.25,2.27
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
mi xi
xc
i 1
m
1.质心公式 2.求质心
xc
mx1 mx2 3m
x1 x2 3
yc
my1 3m
y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O′相距为d，
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
N
mi ri
i 1
m
i 1
N
mi xi
y
xc
i 1
m
2.质量连续分布的物质
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
rdm m
i 1
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
xdm
ydm
zdm
xc m
yc m
zc m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
y
o N F mg
解： 质心运动定理
F Mac
F
x
ac M
xc
1 2
act 2
1 2
F M
t2
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
2 - 2 动量定理 动量守恒定律
一、基本概念 1. 动量
p mv
2. 冲量 过程中力的积累
1) 常力的冲量
F2Δ t 2
I Ft
F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
Σ mivi2 Σ mivi1
F3
t2 t1
Fi外dt
mivi2 mivi1
质点系的动量定理
2、内容:
t2 t1
Fi外dt
mivi2
mivi1
1）内力冲量和为零，内力不改变系统的总动量
2） 任意情况下，
( f f ')t o
三、动量守恒定律
1. 推导
t2 t1
力对时间的积累
I
2) 变力的冲量
I Fiti
3) 当力连续变化时
I t2 Fdt t1
Fx
Ix
t2 t1
Fx dt
+
I y
t2 t1
Fy dt
0 t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
二、动量定理
1.推导 F m dv d (mv) dt dt