专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和答案部分1．C 【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．2．D 【解析】【法1】有题设知21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9，76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，……∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，…是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为11521581615142⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830. 【法2】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====⋅⋅⋅=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得601830S =3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，故1210a a a ++⋅⋅⋅+=3515⨯=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴6n ． 5．27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，所以前9项和998192722S ⨯=+⨯=．6．2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)1212n n n n +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++．7．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n n a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 8．【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.9．（1）116-，（2）10011(1)32-【解析】(1)∵1(1)2nn n n S a =--． 3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18 ①4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116. ②由①②知a 3＝－116．(2)1n >时，11111(1)()2n n n n S a ----=--，∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+当n 为奇数时，1111()22n n n a a +-=-； 当n 为偶数时，11()2nn a -=-．故11(),21(),2n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴121002461001111()2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011(1)111142(1)(1)1323214-=-=--=--．10．1830【名师解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=． 11．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴ 201250363018S =⨯=12．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，13．【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=． 由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==， 故n a n =，所以(1)2n n n S +=． (2)由(1)，知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4．14．【解析】（1）因为123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=，故当2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -++⋅⋅⋅+-=-．两式相减得(21)2n n a -=． 所以221n a n =-(2)n ≥． 又由题设可得12a =． 从而{}n a 的通项公式为 =.（2）记{}21na n +的前n 项和为n S ， 由（1）知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+． 则11111121335212121n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-++． 15．【解析】（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯- 16．【解析】 (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n =1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n =4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n =6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n =9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17．【解析】（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得2nn a =．当1n =时，121,b b =-故22b =． 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2nn n a b n =⋅， 故23222322nn T n =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2341222222122n n n T n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()1122n n T n +=-+．18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意*n N ∈，有2133n n n a S S ++=-+*()n N ∈，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()n N ∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=．从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-， 综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩．19．【解析】（Ⅰ）2211111:(1)320,60n S S S S =---⨯=+-=令得即，所以11(3)(2)0,S S +-=1110,2, 2.S S a >∴==即（Ⅱ）2222(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+从而2212,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又（Ⅲ）当*k ∈N 时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+ 111111113(1)2(21)44()()()244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅+++-+11111111144(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦20．【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a 11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当-.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为（Ⅱ）n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT上式左右错位相减：n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒。