这里说明一下，所谓的方程有根式 解（即代数可解），就是这个方程的解能 够由该方程的系数经过有限次加减乘除以 及开整数次方运算来表示．
从代数方程的根解法的发 展过程来看，早在公元前1700年左 右，古巴比伦人就能够用根式求解 一元二次方程ax2+bx+c=0了．
而直到3000多年之后，16世纪的 文艺复兴时期，三次方程 x3+ax2+bx+c=0和四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0的求根公式才由意 大利数学家给出．到了16世纪中叶， 用根式求解四次或四次一下方程的问 题获得了圆满解决．
人们为了纪念他，把用群论的方法 研究方程根式解得理论称为伽罗瓦理 论． 更重要的是，群论开辟了全新的研 究领域，以结构研究代替计算，在错综 复杂的现象中寻求共同的结构，把偏重 计算研究的思维方式转变为用结构观念 研究的思维方式．
群论迅速发展成为了一门崭新的数 学分支，对近世代数的形式和发展产生 了巨大影响.群是一个高度抽象的概念， 群论对于数学的其他分支，如数学分析、 几何学、物理学、化学的发展，甚至对 于20世纪结构主义哲学的产生和发展都 发生了巨大的影响．
在1824—1826年，年轻的挪威数学 家阿贝尔严格证明了：对于方程 xn+a1xn-1+…+an=0，如果其次数n≥5,并且 系数a1，a2,...,an看成是字母，那么任何一 个由这些字母组成的根式都不可能是方程 的根．这样，五次和高于五次的一般方程 的求解问题就有阿贝尔解决了．
阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根 式求解的方程，其中的一类现在被称为 “阿贝尔方程”． 阿贝尔关于代数方程的工作只是证 明对于一般的五次和五次以上方程根式 解是不可能的，但并不妨碍人们去求一 些特殊代数方程的解，不如阿贝尔方程 的根式解．
旧知回顾
“群”的概念经过前面几讲的学 习，相信同学们已经对它有了很好 的认识．“群”基本内容就是这 些．
新课导入
群理论是丰富多彩的．同学们有没 有想过，是那个聪明人发明的呢？在这 一节中，我们来介绍“群”这一概念是 怎么提出来的．
教学目标
知识与能力
• 了解代数方程的发展历程． • 认识一些伟大的数学家．
面对这样漂亮的结果，数学界迎来 了一个挑战：探寻五次和五次以上方程 的根式解．但是经过以后近300年的努 力，一直没有得到结果.在这期间，几 位数学家的卓越工作是值得一提的．
首先是数学家拉格朗日．
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 （1735~1813）法国数学家、物理学 家.1736年1月25日生于意大利都灵， 1813年4月10日卒于巴黎.他在数学、 力学和天文学三个学科领域中都有历 史性的贡献，其中尤以数学方面的成 就最为突出．
首先来介绍一下伽罗瓦． 伽罗瓦（公元1811年~ 公元1832年）是法国 对函数论、方程式论 和数论作出重要贡献 的数学家，他的工作 为群论（一个他引进 的名词）奠定了基 础．
“群”这一概念是由法国数学家伽 罗瓦在1831年首次提出的，当时的代数 学仍是一门以方程为中心课题的数学学 科，代数方程的求解问题依然是代数学 的基本问题，特别是用根式求解方程．
在阿贝尔的工作之后，数学家所 面临的一个问题就是：什么养的特殊 方程能够用根式求解？这个问题稍后 被同样年轻的数学家伽罗瓦解决 了．对方程的根式可解问题的研究直 接导致了群伦的建立．
伽罗瓦继承和发展了前人及同时 代人的研究成果，融汇贯通了他们的 数学思想，并且凭着对数学特性的一 种直觉，超越了他们．
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
在1770年前后，法国数学家拉格朗日 利用统一的方法（现在称为拉格朗日预解 式方法），详细分析了二、三、四次方程 的根式解法，提出方程根的排列与置换理 论是解代数方程的关键所在，他的工作有 力地促进了代数方程论的进步，但他的这 种方法却不能对一般五次方程求解．
接下来是数学家阿贝尔．
尼耳期．亨利克．阿贝尔（1802－ 1829）1802年8月出生于挪威的一个农 村．他很早变显示了数学方面的才华.16 岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的 老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛 顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大 师们不同凡响的创造性方法和成果，一 下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神 提升到一个崭新的境界，他很快被推进 到当时数学研究的前沿阵地．
伽罗瓦在21岁时就因一场决斗而 早逝.在他临终前给朋友的一封绝笔信 中，伽罗瓦写下了有关他研究的一份说 明．这封信，说明了伽罗瓦对数学本质 尤其是数学方法的追求和探索，展示了 他对现代数学的远见卓识．
在最后介绍一下文中提到的几位 大数学家.首先是勒让德．
勒让德（1752～1833）法国数学 家.1752年9月18日生于巴黎 ，1833 年1 月10日卒于同地.1770 年毕业于马萨林 学院 ．1782 年以外弹道方面的论文获 柏林科学院奖.1783年被选为巴黎科学 院助理院士，两年后升为院士．1795年 当选为法兰西研究院常任院士．1813年 继任J.-L.拉格朗日在天文事务所的职 位．
正像人们评价的，“群的概念是 近世科学思想出色的新工具之 一”“无论在什么地方，只要能应用 群论，就能从一切纷乱混淆中立刻结 晶出简洁与和谐”．
虽然伽罗瓦理论被公认为19世纪最 杰出的数学成就之一，但对19世纪初的 人来说太深奥了，就连当时的数学大师 都不能理解伽罗瓦的数学思想和他的工 作的实质，以至于他的论文得不到发表， 且在以后的几十年中一直被人们看成是 一部“天书”．
过程与方法
• 通过丰富的故事来了解方程的发展历程．
• 了解一些伟大的数学家．
• 以故事的形式，介绍群的产生．
情感态度与价值观
• 让学生感受到数学的发展历程． • 培养学生对数学的浓厚兴趣．
• 培养合作交流意识．
教学重难点
• 了解代数方程的发展历程． • 了解伽罗瓦群论思想的形成． • 了解认识一些伟大的数学家．