MacD ModD 1 y / m
12

修正久期与马考勒久期的关系：
MacD ModD 1 y / m

当 m→∞ 时， lim ModD MacD
m

而当m→∞时，名义收益率趋于利息力，即 y → ，因此
P( y) P( ) MacD lim ModD lim m m P( y ) P( )
115.92 (1 0.42%) 115.43
MacD
tR 1 y
t 0
t
R 1 y
t 0
t

t 1 y
t 1 n
n
t
1 y
t 1
t

( I a)n | y an | y
6
例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的
年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒久期。 解：应用上例的结果
y t Rt 1 m t 0 P
mt
马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对
收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。

马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位 计量。
5
例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年
等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。 解： 假设每年末的偿还金额为R
11

资产价格对收益率y（假设每年复利m次）求导可得：
P( y )
d mt mt 1 Rt 1 y / m tRt 1 y / m dy t 0 t 0
t 0
tR 1 y / m
t
mt
1 y / m
MacD P( y ) 1 y / m
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例：已知某债券的价格为115.92元，收益率为7.00%，修
正久期为8.37。试计算当收益率上升为7.05%时，该债券
的价格。

解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为：
%P (y) ModD (7.05% 7%) 8.37 0.42%

所以新的债券价格可近似为：

未来现金流为 Rt 的资产的价格可以表示为y P Rt 1 来自 m t 0 mt
Rt e t
t 0
4

马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数
为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：
t t R e t t 0
MacD

P
利率风险 Interest rate risk
孟生旺 中国人民大学统计学院
1

主要内容： 衡量利率风险的两种工具：
久期（duration）：马考勒久期，修正久期，有效久期
凸度（convexity）：马考勒凸度，凸度，有效凸度

利率风险管理的两种方法： 免疫 现金流配比
2
马考勒久期（Macaulay
8
• 债券到期时间对马考勒久期的影响（一个反例）
久期
10
5 20 0 40 60
到期时间
息票率 r = 5%，收益率 y =15%
注：用债券的到期时间衡量利率风险可能是不恰当的。
9
• 债券的息票率对马考勒久期的影响
久期
20 15 10 0.1 0 0.2 0.3 0.4
息票率 n＝20年，y = 10%
2
d( MacD) d d d
tR e
t 0 t t 0
t
t R e t
t 2 t t Rt e t Rt e tRt e t 0 t 0 t 0 2 t R e t t 0

duration）
假设资产未来的一系列现金流为 Rt ，则资产的价格：
P Rt 1 i Rt vt
t t 0 t 0

实际收益率 i 也可以用名义收益率 i(m)和利息力表示，故：
i t (1 i ) 1 e m
(m) t
mt
2 t t Rt e t 0 t R e t t 0
tR e
t 0 t t 0
t
t R e t

2

2 （到期时间的方差）
注：马考勒久期是利息力的减函数，利息力越高，风险越小。
i P Rt 1 m t 0
(m)
mt
Rt e t
t 0
3
资产的价格：
i P Rt 1 m t 0
(m)
mt
Rt e t
t 0

为简化表述，用 y 表示名义收益率，当 m =1时，y就是实 际收益率。
MacD
( I a) n | y an | y

( I a)1215|0.02 a1215|0.02
45.7554 45.7554 （月）= 3.81 （年） 12
7

利息力（收益率）对马考勒久期的影响
将马考勒久期对 求导可得（请检验）
u u v uv 2 v v
注：马考勒久期随着债券息票率的上升而减小，但减小 的幅度越来越小。
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修正久期

修正久期（modified duration）：收益率变化时资产价格
的单位变化速率。
P( y ) ModD P( y )

修正久期反映了资产价格随收益率变化而变化的速度：
ModD越大，资产价格的波动幅度越大，资产的利率风 险就越大。 ModD越小，资产价格的波动幅度越小，资产的利率风 险就越小。
注：请与前面给出的马考勒久期进行比较。
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资产价格与修正久期的关系：
P( y ) ModD P( y )

1 dP 1 P ModD P dy P y

P %P ModD (y ) P
注： %△P 表示资产价格变化的百分比。 △y 表示收益率的变化，通常用基点（base points） 表示。一个基点为0.01%。