，或者
。
注：上述收敛性与范数的选取无关，且等
价于按分量（元素）收敛。
性质：
1若
，则对任何向量范数 ，
有界。
若
，则对任何矩阵范数 ，
有界。
2若
，
，
，
，则
。
若
，
，
，
，则
。
3若
，
，则
。
4若
且
存在，则
。
5若
，且
所用矩阵范数与向量范数相容，则
证明 1、2 是线性运算关于范数连续的体
现。3 是矩阵乘法运算对范数连续的结果（矩
1821‐29
1830‐39
1840‐49 1850‐59
42 年大学 毕 业 ,42‐45 研究数 学,46‐49 学 法律
49-63 律 师和研 究数学, 引进矩 阵的基 本概念 与运算
1860‐69 1870‐79 863 年 被任为 剑桥大 学纯粹 数学教
188 0‐89
1890‐95
授，直至
P. 居 里 发 现居里点 和居里定 律; 伦琴发现 X 射线;
雅 克 比 提 球自转;
出求实对 爱晖条约
称矩阵特 俄占我国
征 值 的 雅 领土 60 多
可比方法； 万 平 方 公
里;
外尔斯 特拉斯 在柏林 讲演中 给出连 续但处 处不可 微函数 的例子; 美国内 战
普法战 争； 挪威的 李发现 李群，并 用以讨 论微分 方程的 求积问 题
庞加莱 关于微 分方程 确定的 曲线的 论文，创 立微分 方程定 性理 论
阵 范 数 相 容 性 ）。 4
。5 矩阵范数与向量范数相
容的结果。
命题 1 设矩阵范数 是与向量范数
相容,则
。
证明
。
定理 1
，对任意 ,存在算子
范数 ,使得
.
证明 取可逆阵 将 化成若当标准型
令
,则
对
,定义
பைடு நூலகம்
,
则可直接验证 是一个方阵范数，且
定理 2 设
(1)
；
在范数 ，使得
证明 (1) (2)
，则以下三条等价
逝世
契比雪夫 (1894), 陀思妥耶 夫斯基 ( 1881) 福楼拜 (1880)
皮科克著 《代数通 论》，首创 以演绎方 式建立代 数学，为 代数中更 抽象的思 想铺平了 道路； 英国宪章 运动
雅可比建 黎曼给出
立 了 行 列 了“黎曼积
式的系统 分”的定
理论；
义;
哈密顿发 傅科摆实
现四元数； 验，证明地
(2)
； (3) 存
。
，
所以
。
(2) (3) 由 定 理 1 立 得 。 (3) (1)
。
习题 p88，10，11，14，p127 ，2
Fun Note
凯莱（1821～1895）Cayley，Arthur 英国纯 粹数学的近代学派带头人。 凯莱最主要的贡献是与 J.J.西尔维斯特一起 ， 创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不 变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对 几何学的统一研究也作了重要的贡献。凯莱在 劝说剑桥大学接受女学生中起了很大的作用。 他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学 会的会长。 凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、 天文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文 几乎涉及纯粹数学的所有领域，收集在共有 14 卷的《凯莱数学论文集》中，并著有《椭圆函 数专论》一书。
第八讲
主要内容: 矩阵范数续，向量和矩阵的极限
上有多个矩阵范数，有的矩阵范数
有一些特殊性质。
定理 4.2.1 设
，
均为酉矩阵，即
，则
(1)
即 Furobenius 范数在酉矩阵的作用下不变。
证明
。
定理 4.2.6 设
，则
均为 阶酉矩阵，则 证明 由定理 2.4.2 知道，
所以只要证明
(2)
即可。
首先，若
，则存在
使得
，从而
。
两边同时乘 得
，即
，所以
。同理可得
，
，则
。由
，故
从而
(3) 又由
得 (4)
由
得 (5)
将(3)，(4)，(5)结合起来就得(2)。
所以
。从而 。
/// 第五章 矩阵分析
5.1 向量和矩阵的极限
定义 1 设 则称向量列
设
，若 按范数 ，或者
，若
， 收敛到 ，记为
。 ，
则称矩阵列 按范数 收敛到 ，记为