矩阵论第二版答案【篇一：华北电力大学硕士研究生课程考试试题(a卷)矩阵论答案】14)一、判断题（每小题2分，共10分）1. 方阵a 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。

(x)见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后者小于等于n?,?,?,?m是线2. 设12性无关的向量,则 dim(span{?1,?2,?,?m})?m.正确，线性无关的向量张成一组基v,v3.如果12 是v 的线性v?vv12子空间,则也是的线性子空间.错误，按照线性子空间的定义进行验证。

a(?)4. n阶?-矩阵是可逆a(?)的充分必要条件是的秩是n .见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵a是单纯矩阵的充分且必要条件是a的最小多项式没有重根. 见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）?210???a??021?,??003（6）??则ea的jordan标准型为?e?0??0?21e200??0?,3?e?。

【篇二：矩阵论简明教程课后习题与答案解析】mite正定矩阵的充分必要条件是，存在hermite正定矩阵b，使得a=b2。

解：若a是hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵u, 使得??1??uhau=?????2???, ?i﹥0,i=1, 2, ?,n. ????n??于是??1????2??ha=u?u ??????n????1??1?????h??2= u??uu?????????n???2????h?u ??n??令?1??b=u????2????h?u ?n??则a=b2.反之,当a=b2且b是hermit正定矩阵时,则因hermit 正定矩阵的乘积仍为hermit正定矩阵,故a是hermit 正定的.14. 设a?cn?n是hermite矩阵，则下列条件等价:（1）a是mermit半正定矩阵。

（2）a的特征值全为非负实数。

（3）存在矩阵p?cn?n,使得a=pp解：(1)?(2). 因a是hermit矩阵,则存在酉矩阵u,使得uhau=diag(?1,?2,?,?n)令x=uy, 其中y=ek. 则x?0. 于是xhax=yh(uhau)y=?k≧0 (k=1, 2, ?,n).(2)?(3).a=udiag(?1,?2,?,?n)uh=udiag(?1,?2,?,?n)diag(1,?2,?,?n)uh 令p=diag(1,2,?,n)uh, 则a=php . (3)?(1). 任取x?0, 有xhax=xhphpx=px2≧0.h1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、∞范数。

解：x1=?i??2?4i?1?0=7+2, x2=(1?i)(1?i)?(?2)2?4i(?4i)?1=23, x?=max?i,?2,4i,1?=4.2. 设?1，?2…..?n是一组给定的正数，对任意x=（?1,?2…..?n）t?cn, 规定=k?1??k?k?x=n2。

证明x是cn上的一种向量范数。

解：当x?0时, 有x﹥0; 当x﹦0时, 显然有x=0. 对任意??c, 有k?1??k??kn2??k?1??kkn2??x.为证明三角不等式成立,先证明minkowski不等式: 设 1≦p﹤∞, 则对任意实数xk,yk(k=1, 2, ?,n)有(?xk?yk)≦(?xk)?(?yk)k?1k?1k?1np1pnp1pn1p证当p=1时，此不等式显然成立. 下设p﹥1, 则有?xk?ykk?1np≦?xkxk?ykk?1np?1??ykxk?ykk?1np?1对上式右边的每一个加式分别使用h?lder不等式, 并由 (p－1)q=p, 得?xk?1nk?ykp≦(?xk)(?xk?ykk?1np1pn1(p?1)qq=[(?xk)?(?yk)](?xk?yk)k?1k?1k?1nk?11pp)?(?yk)(?xk?ykk?1k?1p1pn1(p?1)qq)np1pn1pq再用(?xk?yk)除上式两边,即得 minkowski 不等式. k?1n1pq现设任意y=(?1,?2,?,?n)t?cn, 则有x?y??k?k?k?12n??kn2=?(k?1nk?k??k)≦2?(k?1nk?k?kk)2≦?(kk)?k?1n?(kj2=x?y.3. 设a，b是cn上的两种向量范数，又k1，k2是正常数，证明下列函数是cn上的向量范数。

(1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(a, b)=(a?b?a?b)max(x?ya,x?yb)≦max(xa?ya,xb?yb)121≦(xa?xb?ya?yb?xa?x212=(xa?xb?ya?yb?xa?ya?xb?yb)b?ya?yb)=(xa?xb?xa?xb)?(ya?yb?ya?yb)=max( xa,xb)+max( ya,yb) (2) 只证三角不等式.k1x?ya+k2x?yb≦k1xa+k1ya+k2xb+k2yb=( k1xa+k2xb)+( k1ya+k2yb) . 4. am??i?3?5?4i?2?3?1?18?2;11212af??i?32?52?4i?22?32?1?66; a22m??15;a1?列和范数(最大列模和)=7?;a?=行和范数(最大行模和)=9 ;5. 已知m是cn?n上的矩阵范数，s是n阶可逆矩阵。

对任意a?cn?n，规定a=s?1as，证明是cn?n上的一种矩阵范数。

m解：非负性: a≠o时s?1as≠o,于是a?s?1asm＞0. a=o时, 显然a=0; 齐次性: 设??c, 则?a?s?1(?a)s三角不等式: a?b?s?1(a?b)s 相容性: ab?s?1(ab)smm??s?1asm=?a;s?1as?s?1bs≦mmm?s?1as?s?1bss?1as≦mm?a?b;?s?1ass?1bss?1bs=ab. m6. 证明：对cn?n上的任意矩阵范数均有in≧1。

因为in≠o, 所以in＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:in?inin≦inin,即in≧1. 7. 证明cn?n上的m范数与cn上的1、2范数相容。

解：设 a=(aij)?cn?n, x=(?1,?2,?,?n)t?cn, 且 a=aij, 则?i,jax1???aik?k≦??aikk=?[?kikikk?aiiik]≦na?k=amk2?x1;2ax2???aikikk?≦?[?aikikk]2=?a[??kk]2=nax2≦na=a解：利用定理2.12得m?x2.210. 设u是n阶酉矩阵，证明?1u2?hu2?in2?1.mm习题三?i?i??11???, 则p?1=1?2i?1i????1i???, 于是 ea=p??ia0???1?cosa-sina??0?ia???p=???sinacosa????b0?b1ia?eia??b0?b1ia?e?ia?b10=cosa , b1=asina .于是ea=b?0i+b1a=cosa?11??a????+1asina?????a???=???cosa?sina???sinacosa???. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设f(?)=cos?, 或 sin?则有??b0?b1ia?sinia?b0?b1ia?-sinia与??b0?b1ia?cosia?b0?b1ia?cosia 由此可得??b0?0?与?b0?cosia??b??isinia?1a?b1?0故(i2asinia)a=??0isinia????isinia0???=sina 与 (cosia)i=???cosia0??0cosia???=cosa.?5.对a=?1?11???310???求得p= ?1?11???310??0?11???1?, p?1=1??033??, p?1ap=?1??10????3?310??6??642?????6e2t4e2t?3et?e?t2e2t?3 et?e?t?eat=pdiag(e?t,et,e2t)p?1=1?6??03et?3e?t3et?3e?t???03et?3e?t3et?3e?t?????2???sin24sin2?2sin12sin2?4sin1??1??106sin1sina=pdiag(sin(－1),sin1,sin2)p=?0?6??6sin10?0?8. 证明：对任意a?cn?n,有：1ia?ia21(e?e)]=[(eia?e?ia)]2 2i211=?(e2ia?e?2ia?eo?eo)?(e2ia?e?2ia?eo?eo)44(1) sin2a+cos2`a=[=eo=i11112!4!3!5!=sina[i－1111112!4!3!5!=ea此题还可用下列方法证明:???????1a?1a?p=epip=e ???10.证明：若a为反对称矩阵，则ea是正交矩阵。

at=－a, 根据第7题的结果得 (ea)t=ea=e?a, 于是有ea(ea)t=eaea=ea?a=eo=i习题四9.求下列矩阵的hermite标准形和所用的变换矩阵s,并求满秩分解：(1) 对a施行初等行变换tt【篇三：矩阵论答案习题 1.1】1. 解：除了由一个零向量构成的集合???可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k?有无限多个，k∈p数域）.2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3. 解：⑴不是，因为当k∈q或r时，数乘k?不封闭；⑵有理域上是；实数域上不是，因为当k∈r时，数乘k?不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6. 解：（1）设a的实系数多项式f?a?的全体为?f?a??aamamai?r,m正整数?显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7. 解：是线性空间.不难验证sint，sin2t，…，sinnt是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是v中的一个组基.由高等数学中傅里叶（fourier）系数知 ci?1??2?tsinitdt.??s?(3, 4)=(3,4)?(6, 4)= (9, 8),?(1,2) = (3,4) ,⑷是.9. 证若?,??v，则2??????2??2???1?1????1?1????1??1???(1??1?) ??????????????????????另一方面，2???????1?1????????1??1???1????? ??????????????????????因此 ????从而有???????????????，????????? ??????????????????????????????于是得?.10. 解：先求齐次方程组的基础解系即为解空间v的一组基. 所以， dim v=2.11. 解：考察齐次式即得线性方程组k1?k2?0k1?k2?k3?02k1(x?x)?k2(x?x)?k3(x?1)?022(k1?k2)x?(k1?k2?k3)x?k3?0,k3?0?k3?0时由于系数行列式不等于零，那么只有 k1?k2才对 ?x 成立，所以2, 上述齐次式22x?x, x?x, x?1 线性无关，且任二次多项式ax?bx?c都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令得2x?7x?3?(k1?k2)x?(k1?k2?k3)x?k322k1?3,k2??1,k3?3, 即坐标为 ( 3, -1, 3 ) .12. 解：⑴因为 (?1,?2,?3,?4)=(?1,?2,?3,?4)c ,故 c =(?1,?2,?3,?4)?1(?1,?2,?3,?4)10100001000?120310532166132031053216613t= 0001?11=1?11.⑵1x =(?1,?2,?3,?4),?12031053216613,?2,?3,?4)t, 则??1?2?3?y=c?1?2?3?4= 1?1149113490?19?1?13???11923272?1=271?3727013? = b x3?2?432627⑶如果 x = y , 则有 x= bx ,即得齐次方程组 ( i- b)x=0 , 求其非零解为x = k (－1, －1, －1, 1 ) ,k∈r ,即为所求 .t13. 解： (1) 对kakl?1，其余的aij?012n?n?1?.?1,2,?,n；l?k,k?1,?,n令fkl??aij?，其中n?n，则?fkl?为上三角矩阵空间的一组基，维数为（2）r+中任意非零元素都可作r+的基，dimr+=1. （3）i，a，a2为所述线性空间的一组基，其维数为3.14. 解：（1）由已知关系式求得??1???2???3???4?4?1?8?2??3?2?4??2?1?4?2??1?2?2??2?2?3??4于是，由基（i）到基（ii）的过渡矩阵为?4?8c???1???2?2?40112000??1? 2??0?c（2，-1，1，1）t=（11，23，4，-5）t.15. 解：不难看出，由简单基e11，e12，e21，e22改变为基（i）和基（ii）的过渡矩阵分别为?2?1c1???0??10122?21121??3?1??2??1?2????1??01?111?1211?1???1?0??1?，c2则有（b1，b 2，b 3，b 4）=（e11，e12，e21，e22）c2 =（a1，a 2，a 3，a 4）c1?1 c 2。