矩阵论试题及答案
三.(10
分)在复数域上求矩阵
A
=
− −
4 4
2 3
10 7
的若当标准形
J
,并求出可逆
− 3 1 7
矩阵 P 使得 P −1 AP = J .
2 1 0
解:
A
的若当标准形
J
=
0 0
2 0
1 2
.
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) ,则有
b
=
0
,
sin(
π 4
A) =
E
;
令 eλ = q(λ )(λ − 2)2 + a + bλ ,则 a + 2b = e2 , b = e2 .
2 1 −1
eA
=
−e2 E
+
e2
A
=
e2
−2 −1
−1 −1
2 2
.
待定系数二:
令 sin
π 4
λ
=
q(λ ห้องสมุดไป่ตู้(λ
−
2)3
+
a
+
证明:设α1 ,α2 , ,αn 为V 的标准正交基, A = {aij }n×n ,下证: aij = −a ji :
由T (α1 ,α 2 , ,α n ) = (α1 ,α 2 , ,α n )A 知
Tα i = a1iα1 + a2iα 2 + + aniα n , Tα j = a1 jα1 + a2 jα 2 + + anjα n ,
+
sin( x2 x5 ) +
x3
x4
,求
df dX
.
∂f ∂f ∂f
解答: df
=
∂x1
dX ∂f
∂x4
∂x2 ∂f ∂x5
∂x3 ∂f ∂x6
=
x6
e
x1
x6
x3
x5 cos( x2 x5 ) x2 cos( x2 x5 )
3 1 −1
五.(10
−4 −3
1 1
7 5
p3
=
p2
解得: p1 = (2, 1, 1)T ,
p2 = (0, 1, 0)T ,
2 0
p3 = (1, − 2, 1)T
,
P
=
1 1
1 0
1
−2 1
.
四.
(10
分)已知
X
=
x1
x
4
x2 x5
x x
3 6
,
f (X)
=
e x1 x6
由若当分解
A1
=
P1
D1 0
0 0
P1−1
,其中
D1
∈
Cr×r
可逆;
当 j = 2, , n 时,由 A1Aj = Aj A1 = 0 可得
0 Aj = P1 0
0 Bj
P1−1
,
Bj ∈ C(n−1)×(n−1) (直接推出的 Bj 为 (n − r ) × (n − r ) 的)
a + 2b + 4c = e2
b
+
4c
=
e2
⇒ a = e2,
2c = e2
b = −e2 ,
c = 1 e2 ; 2
eA
=
e2 (E
−
A
+
1 2
A2
)
=
e2
2 −2 −1
1 −1 −1
−1
2 2
.
0
六.(10
分)设
A
=
− 1 0
1
1
0 2
Ai Aj = 0 (i, j = 1, 2, , n) .试用归纳法证明存在同一个可逆阵 P ∈ Cn×n 使
得对所有的 i (i = 1, 2, , n) 有 Ai = ai PEii P −1 ,其中 ai ∈ C .
证明: n = 1 时,命题显然. 假设 n ≤ k 时,命题成立.
当 n = k +1 时,设 rankA1 = r .
(Tα i ,α j ) = −(α i ,Tα j ) ;
(Tα i ,α j ) = (a1iα1 + a2iα 2 + + aniα n ,α j ) = a ji ,
(α i ,Tα j ) = (α i , a1 jα1 + a2 jα 2 + + anjα n ) = aij ,
所以: aij = −a ji .
再由 Ai Aj = 0 得 Bi Bj = 0 (i ≠ j, i, j = 2, , n) ;
Bj
≠
0 , rank Bj
=
rank
B
2 j
也是明显的.
由 假 设 知 存 在 可 逆 阵 Q C ∈ (n−1)×(n−1) 使 得 Bj = a jQE jjQ−1 , 其 中 a j ∈ C ,
j = 2, , n .
此时,再由 A1Aj = Aj A1 = 0 得到
A1
=
P1
a1 0
0 0
P1−1
=
a1P1
1 0
0 1 Q 0
0 1 0 0
0 Q−1
P1−1
;
记
P
=
P1
1 0
0 Q
,则
Aj
0 = P1 0
0 Bj
1 5
=
−
1 2 0
1
2
1
5
0 2
;
5
0
0
−
U=
1 2
0
1
2
1 5
0
−
2
5
0 2
1 2 0
0 1
;
5
5
0 −1
0
2
0
−
A=
1 2
0
1
1
10.设
A
=
1 −2
2 5
,
B
=
2 2
2 4 4 8
04 ,则
A⊗
B
=
2
−4
−4
0 −8 0
4 10 10
0
.
20
0
二.(10 分)设T 为 n 维欧氏空间V 中的线性变换,且满足: (Tx, y) = −( x,Ty) ,
试证明:T 在标准正交基下的矩阵 A 为反对称阵( A = − AT )
x1
=
0 1, x2
=
1 0
,V
=
0 1
1 0
;
再计算 AAH 的标准正交特征向量,解得分别与 5,2,0,0 对应的四个标准
正交特征向量
1
υ1
=
1
5
0 2
,υ
2
5 0
=
0
−1
2
0 1
=
2 1
−1 −1
0 3
1 7
, V1 , V2 分别为齐次线性方程组
Ax = 0 , Bx = 0 的解空间,则 dim(V1 ∩V2 ) = 1 .
n + (−1)n
8. 设 An =
n n+1
3n
(1 −
11 )n
n
(
2n 2n
+ −
1 1
)n
=
−13 −2
−42 −7
−1 0
.
33
1
∑ ∑ 6 . 设 A∈ C3×3 , A = { m2
aij 2 }2 , AA H 的 非 零 特 征 值 分 别 为 3, 5, 15 ,
j=1 i=1
则 A = 23 . m2
7.
设
A
=
1 −1
2 1
1 1
0 1
,
B
,则 lim n→∞
An
=
1
1 3
1 e
.
2 −1 3
9.
设
A
=
1 2
2 0
1 2
,则
A
的
LDU
分解为
1 0 0 2 0 0 1 −1 2 3 2
A
=
1
2
1
0
0
52
0
0
1
−
1
5
1 2 / 5 1 0 0 −4 / 5 0 0
=
−4 1
3 0
0 2
,则 h( A)
=
A5
−
3 A4
+
A3
+
3 A2
−