第二章前6节习题解答 P35 §1
1．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？
解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。

2．举出一个有两个元的群例子。

解 }11{-，对于普通乘法构成一个群。

]}1[]0{[，对于运算][][][j i j i +=+构成群。

]}2[]1{[，对于运算][]][[ij j i =构成群。

它们都是两个元的群。

3. 设G 是一个非空集合，”“ο是一个运算。

若①”“ο运算封闭；②结合律成立；③G 中存在
右单位元R e ：G a ∈∀，有a ae R =；④G a ∈∀，G a R
∈∃-1，有R R e aa =-1。

则G 是一个群。

证(仿照群第二定义的证明)
先证R R R
e a a aa ==--1
1。

∵G a R
∈-1，∴G a ∈∃'，使R R e a a =-'1， ∴R R R R R R R R R R R
e a a a e a a aa a a a a a e a a a a ======--------''')()')(()(11111111，R R e a a =⇒-1。

∴R R R
e a a aa ==--11。

再证a ae a e R R ==，即R e 是单位元。

G a ∈∀，已证R R R
e a a aa ==--11，∴a a e a ae a a a a aa a e R R R R R =⇒====--)()(1
1。

∴a ae a e R R ==。

即R e 就是单位元e 。

再由e a a aa R R ==--11得到1
-R a 就是1-a 。

这说明：G 中有单位元， G a ∈∀都有逆元1-a 。

∴G 是一个群。

P38 §2
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2，那么G 是可交换的。

证∵ 12，-=⇒=∈∀x x e x G x 。

∴。

b b a a G b a 11,,--==⇒∈∀ ∴ba ba b a ab ===---111)(。

∴ba ab =，即G 是可换群。

2．在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。

证 令a 是有限群G 中一个阶2>的元，∵互逆元是同阶的，∴1-a 的阶也大于2，且a a ≠-1 (若矛盾的阶与2,21>=⇒=-a e a a a )。

设G 中还有阶2>的元b ，且1,-≠≠a b a b ，∴1-b 的阶也大于2，且b b ≠-1。

我们还可以得出a b ≠-1，11--≠a b 。

这是因为若11--=⇒=a b a b ，矛盾；若a b a b =⇒=--11，矛盾。

所以在有限群G 中，阶2>的元成对出现，因此命题成立。

3. 假定G 是一个阶是偶数的有限群，在G 中阶等于2的元的个数一定是奇数。

证 由上题知阶2>的元的个数是偶数。

∵G 是偶数，∴ 阶2≤的元也必是偶数。

但阶是1的元只有单位元e ，∴阶等于2的元的个数为奇数。

4. 在有限群G 中,每一元素具有一有限阶。

证e a G a ≠∈∀,，G a a a a a G G ∈+1||||32,,....,,,，根据鸽巢原理，这1||+G 个幂至少有两个相同。

不妨设)1||1(+≤<≤=G j i a a j i ，那么e a i j =-。

所以命题成立。

P44§4
1. 假定两个群G 与G 的一个同态之下，
a a →，
那么a a 与的阶是否相同？ 解 不一定。

取},{o e G =，运算为e e e =ο，显然},{o e G =是一个群。

取整数加群}{+=Z ，G 。

建立G G →:ϕ，其中Z n e n ∈∀=,)(ϕ。

显然ϕ是G G 到的同态。

G 的单位元0是一阶元，它的象是一阶元e ，G 的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元e 。

思考：若假定两个群G 与G 的一个同构ϕ之下，
a a →，
那么a a 与的阶是否相同？ 解 肯定相同。

①若+∞<=n a o )(，即e a n
=，∵ϕ是同构，∴
e a e
e a
a a n n
n n =⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫===)()]([)(ϕϕϕ，∴a 的阶也是有限，记m a o =)(，∴n m ≤。

又∵1
-ϕ是G 到G 的一个同构，且e a m
=，∴e a e e a
a a m m m m
=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫===---)()]([)(1
11ϕϕϕ，∴m n ≤。