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【必考题】高三数学下期中试卷(及答案)(1)

【必考题】高三数学下期中试卷(及答案)(1)一、选择题1.设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩,则46y x ++的取值范围是A .3[3,]7- B .[3,1]- C .[4,1]-D .(,3][1,)-∞-⋃+∞2.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈,则89a a λ+的最小值为( ) A .94-B .94C .274D .274-3.已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是( )A .11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C .1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4.设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A .2B .3C .4D .95.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=a ,则A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定6.已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =,则数列的第2018项为 ( )A .15B .25C .35D .457.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40368.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ,则1212a x x x x ++的最大值是( ) A .6 B .23C .43D .43-9.下列命题正确的是 A .若 a >b,则a 2>b 2 B .若a >b ,则 ac >bc C .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b10.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸11.在ABC 中,4ABC π∠=,2AB =,3BC =,则sin BAC ∠=( )A .1010B .105C .310 D .5 12.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111()(233n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )A .32nn a n =+B .23n n n a +=C .a n =n+2D .a n =( n+2)·3n二、填空题13.如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于2),且所有项之和为N ,那么称该数列为N 型标准数列,例如,数列2,3,4,5,6为20型标准数列,则2668型标准数列的个数为______.14.已知实数x ,y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,则1yx +的最大值为_______.15.若为等比数列的前n 项的和,,则=___________ 16.在等比数列中,,则__________.17.已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,则2z x y =-的最小值为__________.18.设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称,对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω,则CD 的最小值为__________.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1n n S a λ=-(λ为常数).若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-,且1n n b b +<,则满足条件的n 的取值集合为________.20.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = ________.三、解答题21.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B 的大小;(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC S ∆的最大值. 22.设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ,其中11a =. (Ⅰ)证明:32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列; (Ⅱ)令112n n b a =--,设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ,求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.23.已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且485S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列,前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列,且515=-S .(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{nS n}的前10项和. 25.已知数列{}n a 是等差数列,111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若从数列{}n a 中依次取出第2项,第4项,第8项,,第2n 项,按原来的顺序组成一个新数列,求12n n S b b b =+++.26.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且()3cos 23cos a C b c A =-(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a =,求ABC 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域,而46y x ++表示两点P (x,y )与A (-6,-4)连线的斜率,所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-,选B.点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2.C解析:C 【解析】设等比数列的公比为q (q >1),1+(a 2-a 4)+λ(a 3-a 5)=0,可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-,(t >0),q 2=t+1,则设f (t )=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t >12时,f (t )递增; 当0<t <12时,f (t )递减. 可得t=12处,此时q=2f (t )取得最小值,且为274,则a 8+λa 9的最小值为274; 故选C.3.C解析:C 【解析】试题分析:直线()4x m y =-恒过定点(0,4),当0m >时,约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图,则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =,满足M ≤,当0m =时,直线()4x m y =-与y 轴重合,平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域,则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =,满足M ≤,当0m <时,由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图,点P 与点B 重合时,()OP OA R λλ-∈的最小值为M OB =,联立{(4)y x x m y ==-,解得44(,)11m mB m m --,所以2OB =,由≤1135m -≤≤,所以103m -≤≤,综上所述,实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故选C.考点:简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题,着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用,关键是正确的理解题意,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,转化为利用线性规划求解目标函数的最值,试题有一定的难度,属于难题.4.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域,如图,画出可行域ABC ∆,(2,0)A ,(1,1)B ,(3,3)C , 平移直线2z x y =+,由图可知,直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值,2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.A解析:A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,进而求得a ﹣b 的表达式,根据表达式与0的大小,即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】解:∵∠C =120°,ca ,∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,()2=a 2+b 2+ab .∴a 2﹣b 2=ab ,a ﹣b ,∵a >0,b >0, ∴a ﹣b ,∴a >b 故选A . 【点睛】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题.6.A解析:A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项,可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列,即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩, 211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-==∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.7.D解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.D解析:D 【解析】:不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),根据韦达定理,可得:2123x x a =,x 1+x 2=4a ,那么:1212a x x x x ++=4a +13a. ∵a <0, ∴-(4a +13a )=3,即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-. 故选D .点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.9.C解析:C【解析】对于A ,若1a =,1b =-,则A 不成立;对于B ,若0c ,则B 不成立;对于C ,若a b >,则33a b >,则C 正确;对于D ,2a =,1b =-,则D 不成立.故选C10.B解析:B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。

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