因为:
dAn
c
o s 1dydz
2
则上式变成
p x1 2 d y d z p n1 2 d y d z 1 6d x d y d zx f 0
或
1
px
pn
3
fxdx0
dx趋于0时，第三项为无穷小，可以略去，故得：
px pn
同理可得: py pn pz pn
所以
pxpy pz pn
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止
同理得 写成矢量形式
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
f
1
Hale Waihona Puke p0（2-3）
这就是静止流体平衡微分方程式，又称欧拉平衡微分方程式 （1755年，欧拉首先推导）。
欧拉平衡方程的物理意义：在静止流体中，某点单位 质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。
欧拉平衡方程的适用范围：静止或相对静止状态的可 压缩和不可压缩流体。
设六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的 静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、 右两个平面中心点上的静压强分别为：
p p xd 2 x1 2 x 22 p d 2 x 21 6 x 33 p d 2 x 3
p p xd 2 x1 2 x 22 p d 2 x 21 6 x 33 p d 2 x 3 略去二阶以上无穷小量后，分别等于：
作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两 种。 ☆ 质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离作用力， 是空间点和时间的函数。 ☆ 表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的相互作用， 是表面点和时间的函数。 重力、惯性力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。 问题：表面张力、浮力属什么类型？
p limPdP A0 A dA
lim T dT
A0 A dA
法向应力P和切向应力τ的单位为Pa（N/m2）。
上一页
2．静止流体的应力特征
特征一: 流体静止时，切应力为零。
特征二: 静止的流体不能承受拉应力， 只能承受压应力（压强）， 任一点各个方向的压强相等。
特征三: 有势力场中，两种流体交界面 必为等压面。
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、pz和pn，pn与x、 y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为：
Px
px
1 dydz 2
Py
py
1dxdz 2
Pz
pz
1 dxdy 2
PnpndAn （dAn为BCD的面积）
假定作用在流流体上的单位质量力为 f ，它在各坐标轴上的分量分别为
下一页
ΔP n
ΔF
ΔA ΔT τ
V A
周围流体作 用的表面力
切向应力
作用在流体上的表面力
如上图所示，在流体中取出被表面积为A的封闭曲面 所包围的某部分流体体积V，则周围流体必然有力作用在 这个体积V的表面积A上。在表面积A上围绕点a取一微元
面积ΔA，周围流体作用在其上的表面力为ΔF，则a点的法
向应力和切向应力的数学表达式分别为
欧拉平衡方程是流体静力学最基本的方程，流体静力 学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是 从下述的压强差公式来进行推导的。
第二章 流体静力学
流体静力学 研究流体在静止状态下的力学规律 静止：受平衡力作用下的运动状态
绝对静止、相对静止、匀速直线运动 本章研究的问题
静止液体压强分布规律 物体所受的总压力、压力中心、压力体 惯性力作用下液体的相对平衡
思考1
挡水墙的静水压强按什么规律分布? 挡水墙所受的总压力是多少?
流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而
流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连
续函数，即
pp(x,y,z)
§2-2 静止流体微分方程
一、流体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的六面体流体微团，作用
在该六面体的上表面力只有静压强。
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
p1 pdxdydz 2 x
p1 pdxdydz
p
2 x
微元平行六面体x方向的受力分析
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的 平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为：
fxdxdydz
fydxdydz
fzdxdydz
静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其
上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。对于x轴，则为
p 1 2 p x d x d y d z p 1 2 p x d x d y d z fxd x d y d z 0
整理即得：
fx
1
p x
0
（2-2）
思考2
珠穆朗玛峰顶上的大气压力、密度、温度为 多少?
思考3
海面下108m深处的水压强是多少?
1．质量力和表面力
质量力：某种力场对流体的作用力
单位质量力是单位质量的流体所受到的力场作用力，记作f. 在重力场中， 单位质量力 f 就等于重力加速度g.
表面力：周围物体作用在流体微团表面的力。
fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：
Wr 1dxdydz
r f
6
它在三个坐标轴上的分量为：
Wx
1dxdydz
6
fx
Wy
1dxdydz
6
fy
Wz
1 dxdydz
6
fz
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意
轴上投影的总和等于零。
在x轴方向上力的平衡方程为：
p x1 2 d y d z p n d A nco 1 s 6d x d y d zxf 0 (2-1)
特征四: 流体静压强的方向必然重合于 受力面的内法线方向。
证明：任一点各个方向的压强值相等
证明当图中的四面体缩成一点时, 四个面上的压应力相等.
作用在ACD面上 的流体静压强
px
pz 作用在BCD面
pn 上的静压强
py 微元四面体受力分析
作用在ABD和 上的静压 强
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体 中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于 各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的， 所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、