及起始状态 ，由于 及其各阶跃导数在 时都等于零，因而在 时方程（1）的自由项恒等于零，因此冲激响应h(t)与齐次解的形式相同，且在n>m时，h(t)可以表示为
若 ，则表达式还将含有 及其相应阶的导数 等，其中，常数 ，可以通过冲激函数匹配法，求出 值，从而求得 各值。
例：由例2-5求得微分方程表示为
若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能），则构成的系统是线性时不变系统。
对于复杂系统，设激励信号为 ，响应为 ，则可用一高阶的微分方程表示
（2）
若方程（2）的 及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程
（3）
由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程和特解两部分组成。
齐次解是齐次方程的解。
齐次方程解的形式为 函数的线性组合，将 代入方程（3）得
激励函数 与特解的对应关系，见P46表2-2。
例：2-4给定方程
若（1） ，（2） 分别求两种情况下此方程的特解
解：（1）将 代入方程得：自由项为
故设特解 代入方程得
对比系数得：
（2）当 ，可选 ，代入方程后得
于是特解
于是完全解
若给定微分方程和激励信号 ，在给出一组求解区间内的边界条件，便可确定待定系数 。
零输入响应:没有激励作用,只有起始状态所产生的响应。记为 ，它满足方程
及起始状态 的解。可见它是齐次解的一部分。
由于没有外界激励作用，因而 即Azik可以由 确定。
零状态响应:起始状态等于零时,由系统的外加激励信号所产生的响应，记为 。它满足方程
及起始状态 其形式为
下题讲授时为便于学生接受，可先将 去掉使问题简化
系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。
本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算简化。
重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。
教学内容
§2.1 引言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型
建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。
数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程；
稳态响应：保留下来的那部分响应分量。
在建立了零输入响应和零状态响应的概念后，进一步说明系统的线性和时不变问题。由下图可知，对外加激励信号e(t)和它对应的响应 的关系而言，若 ,则用常系数线性微分方程描述的系统是线性和时不变的，若起始状态 ，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统，同时由于零输入分量的存在，使响应的变化不可能发生在激励之后，因而系统又是非因果的。
若 是在t=0时刻加入，则把求解区间定为 ，通常取 这样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程 称为系统的“固有频率”（自由频率，自然频率）；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应 和与外加激励信号 有关的强迫响应 组成的。
根据线性时不变系统的性质
（3）零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应 ，对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。
§2.5冲激响应与阶跃响应
对于线性时不变系统，冲激响应h(t)的性质，可以表征系统的因果性和稳定性，h(t)的变换域表示更是分析时不变系统的重要手段，因而冲激响应h(t)的分析是系统分析中极为重要的问题。
已知：
用冲激函数匹配法求
解：考虑方程右端冲激函数项最高次是 因而设
将其代入原方程得
解得
至此可将求解微分方程流程图见p52图2-5
§2.4零输入响应和零状态响应
由于时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，为确定完全响应中的常数，往往利用冲激函数匹配法，把给定的 状态转换成 状态以便求解。另一种分解方法是将总响应分为零输入响应和零状态响应。
1.冲激响应h(t)定义：系统在单位冲激信号 的作用下，产生的零状态响应。阶跃响应g(t)定义：系统在单位阶跃信号u（t）作用下，产生的零状态响应。
，若将e(t)作用下冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应。
即：零状态响应是激励e(t)与冲激响应h(t)的卷积积分
对于LTI系统，它的h(t)满足下微分方程
例给定方程
当 ， 求 =？
解: 1.先求rzi(t)
因为零输入响应，故e(t)=0,原方程兑变为
其特征方程为 ，1=-1 ,2=-2
，
代入起始状态得
2．再求
将 代入原方程得
设
代入上方程得：
得:
当 时， 满足方程
设特解 代入上方程得
代入 得
注意：为使计算思路清晰，可将求解 与求初始条件 的顺序对调一下。
（4）
方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的n个根
称为微分方程的特征根。
若特征根无重根，则
若 是K阶重根，则
例1求 的齐次解
例3求 的齐次解
解其特征方程为
特解 的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励 代入方程（2）右端，化简右端函数式称为“自由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解
第二章 连续时间系统的时域分析
学习目标
1.理解0_和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法
2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法
3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应
4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法；
5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；
教学重点难点
的解h1(t)
再利用 求出h(t)
解：由
当t>0时，上方程为
将h1(t)代入方程（2）得
由对比系数法得：
方法4：
分析：由于方程等号右端含 ,故
对上方程两端同时由 进行积分得
由于 ，
由于 ， 将初始化条件代入
中
得：
系统的阶跃响应g(t)微分方程
及起始状态 ，可以看出方程右端的自由项含有 及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应中，除含齐次解形式之外，还应增加特解项。
我们先考察一个实例
例2-7，如图2-6 所示RC电路，电容两端起始电压 ，激励源为e(t),求t>0时电容两端电压 。
将上式两端同乘以 得
两边求积分
得：
的第一项只和电容两端的起始储能 有关，与输入无关。被称为零输入响应。
第二项与起始储能无关，只与输入有关，称为零状态响应。
一般情况下，设系统是线性时不变的，把输出响应分成由激励信号e(t)引起的响应H[e(t)]，和由系统起始状态 引起的响应 两者叠加，由此可分别定义零输入响应和零状态响应。
对响应的另一种区分是瞬间响应和稳态响应。
零状态响应的另一种求法：
求
的零状态响应。
解：由于零状态，故
又由于解的区间为 ，故当 时，上方程蜕变为
设 代入方程（2）得
求
分析： 含有 ， 含有 ， 含有
对方程（1）从 积分得
将初始条件代入（3）式：
注：直接用 代入方程此方法是不正确的。
瞬态响应：当 时,响应趋于零的那部分响应分量，
例：如图所示
而
将(2)式代入(1)式子得
令 则代入方程得
而
的电压不能突变，故
将 代入
，得
A=-2
2-5 例如图所示电路， 开关S处1位置且已达到稳定，当t=0时，由1转向2，建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。
解： （1）
（2）
（3）
消去 ， 得
（4）
.求齐次方程
特征方程：
a)求特解:
当 时， 代入（4）式得
设系统的激励信号为e(t)，冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为
卷积的几何解释：
卷积的运算有5个步骤。
(1)换自变量：将两信号的时间变量t换为
(2)反折：把其中的一信号反折
(3)移位：将反折后的信号做位移，移位量是t,t>0时，图形右移；t<0时图形左移
故方程 （5）
令 代入（5）式得
故系统的完全解为
（6）
c．确定待定系数
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
，
而
d.求 在 时的完全响应
将 代入（6）式得
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及其各阶导数,说明相应的变量从0-到0+状态发生了跳变,即 此时为确定 等，可以用冲激函数匹配法。其原理根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
例：求系统 的阶跃响应g(t)=?
解：当e(t)=u(t)时，则 i(t)=g(t), g(t)满足的方程为
及
。当 ，上方程蜕化成
其解的形式为
设特解为gp(t)=B,对 代入方程
利用冲激函数匹配法求常数A1，A2
代入方程得
代入方程得
当然g(t)也可由 求得。
§2.6卷积
卷积的定义：任意两个信号f1(t)和f2(t)的卷积定义为
下面举一例子说明：
已知
解：由分析可知：方程右边含 ，由此可推断 ，而方程右端无 项，故 由于 得出r(t)在t=0时刻有 存在，若 表示 到 相对单位跳变函数，即