r(t) 1(t) , R(s) 1
(s)
s2
n2 s 2ns n2
n2 s2 n2
s1 n
0
s2
C(s)
n2 s2 n2
1 s
1 s
s2
s n2
c(t
)
L1Cs
L1
1 s
s
2
s
n2
1
c
osnt
当 0时，二阶系统的单位阶跃响应是振幅为1的等幅
振荡，其振荡频率为n ，所以，称 n 为“无阻尼自然
2
dt tg1
1 2 k
x
arctan x arctgx tg1x ,
2 2
2
27
dt arctan
1 2 k
arctan 1 2
dtp 0, ,2 ,
1
1 2
tp为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，
所以应取k＝1，于是
tp
d
n
1 2
>
tr
tr
n
1 2
d
cos ,一定，即一定 当n d tr ,即响应速度越快
26
(3) tp（峰值时间）
c(t) 1
1
1
2
ent
sindt
对上式求导，并令其为零，即 dct 0
1
1
2
nent
s in(d t
)
1
1
dt
2 d
ent
c os (d t
)
0
tg(d t
)
d n
1 2
5
n 1 2
1 0 s1
n
n 1 2
s2
s1,2 n n 2 1
1 s1
s1 n n 2 1
0 1 n 1 2
s1 s2
n
s2 n n 2 1 s2
n 1 2
s1 n
0
s1 s2 n
1
1 s1 n n 2 1
n
s1 s2
s2
s2 n n 2 1
闭环极点分布图
s
n2
0
等自然振荡角频率线
18
c(t) 1
ent
1 2
sin
n
1 2t
表明二阶欠阻尼系统在单位阶跃函数作用下，稳态分量 为1，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为
d ——阻尼振荡频率
问： s n 为什么叫“衰减指数”？
答：包络线 1 ent 1 2 决定系统的收敛速度，
所以称 ent 为“衰减因子”，称 n 为衰减指数。
1 2
sin n
1 2t
t0
17
s1,2 n jn 1 2 x jy
x2 y2 n 2 n
2
1 2
x2 y2 n2
arcsin 1 2 arccos arctan 1 2 等阻尼线 cos
j s1
d
n
s
n
0
等自然振荡角频率线
1 n3 2 3
j
n1 3 2 1 n3 n2 n1
n 1 2
14
Cs
s2
n2 2 n s
n2
1 s
1 s
s
s n
n 2 d2
s
n
n 2
d2
1 s
s
s n
n 2 d2
n d
s
d
n 2
d2
L e-atcost
s
sa
a2 2
L eat sin t
s a2 2
c(t ) 1 ent cosd t
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
24Leabharlann 68 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
s2
2 n
2 n s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
不能振荡。
❖ 较大时，即 1 时，系统可简化为一阶
s1
n
2 1 0
s2 n 2 1 2n
故当 较大时，s2 s1 ，此时c(t)表达式括号里的第一项要
比第二项衰减快的多，因此忽略括号里的第一项，此时
c t
1 1
s2 s1
s1es2t s2es1t
1 1
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
应是等幅振荡的，系统是不稳定的。 7
2 二阶系统的单位阶跃响应
❖过阻尼情况 1
s1 n n 2 1
dc(t ) dt
n 2ent
0
递增曲线
12
(s)
s2
1
2
1s
1
1, 2,10
1.2
1
1
0.8
2
0.6
0.4
10
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
13
❖欠阻尼情况0 1
二阶系统的闭环特征根为
s1
n
s1,2 n jn 1 2 s jd
n
s n ——衰减系数
s2
d n 1 2 n ——阻尼振荡频率
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统的重要性 典型性：工程上最具代表性，高阶系统在工程上常 可近似为二阶系统加以处理。 实用性：二阶系统的性能指标计算简单、精确，便 于工程上分析。
二阶系统的时域分析的主要研究内容
单位阶跃响应
过阻尼情况 无阻尼情况 临界阻尼情况 欠阻尼情况
1
二阶系统分析步骤
给定二阶系统 建立其数学模型
sin
n
1 2t
16
c t 1 ent ent 1 2
1 2 cosdt sin dt
s1
sin 1 2 arcsin 1 2
n
cos
arccos
tan 1 2 arctan 1 2
n
n 1 2
称 为阻尼角
s2
c(t) 1
e nt
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
s1
n
d n 1 2 n
左图表示欠阻尼二阶系
统各特征参量之间的关
系：衰减系数s 是闭环
极点到虚轴的距离；阻
尼振荡频率d 是闭环极
点到实轴的距离；自然
频率n 是闭环极点到原
点的距离。n 与负实轴
的夹角的余弦正好是阻
尼比 ，即
cos
s2
d n 1 2 故称 为阻尼角。
24
（1）td（延迟时间）
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin(n
1 2 t arccos ), 1 0, t 0
或
ct 1
e 2 1 nt
e 2 1 nt
,
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
1, t 0
由于 0 所以指数因子具有正幂指数，因此，系统的动
态过程为发散的形式，从而表明 0 的二阶系统是不 稳定的，所以对于一个稳定的系统其阻尼比 一定是大 于零的。
s2 n n 2 1
二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns n2
输入为阶跃函数 R(s) 1 时，则系统的输出量为：
C(s)
sR(s)
s s2
n2 2ns n2
1 s
c(t ) L1[C(s)] L1[sR(s)]
1
L1
n
(s n)2 s s (s n)2 s n
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为
临界阻尼响应
L1
s
1
an
n
11!t
e n1 at
c(t) 1 ntent ent 1 ent (1 nt), t 0
当 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的
无超调单调上升过程。
判断依据：
超调量仅是阻尼比 的函数，而与自然频率 n 无关。阻 尼比 越大，超调量越小，为了保证既减小超调量又保持
一定的响应速度，工程上一般 0.4 ~ 0.8 30
,
0 1
一定，n td ,延迟时间越短
n一定， td ,延迟时间越短