江苏省常州高级中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷说明:1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分,考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相....应的位置上...... 1.数列{}n a 中,)2(1,1111≥+==--n a a a a n n n ,则3a = ▲ .2.在△ABC 中,已知bc c b a ++=222,则A 为 ▲ .3.在函数①1y x x =+,②1sin sin y x x =+π0 2x ∈(,),③222y x =+,④42x x y e e =+-中, 最小值为2的函数的序号是 ▲ .4.设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和.若27a =,77S =-,则7a 的值为 ▲ .5.在ABC ∆中,若3,6==a A π,则=++++CB A cb a sin sin sin ▲ .6.已知数列{}n a 满足*1112,()1nn na a a n a ++==∈-N ,则2018a 的值为 ▲ . 7.设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=.若存在两项a n 、a m ,使得m n a a a ⋅=41,则n m + 的值为 ▲ .8.在△ABC 中,若1a =,3b =,6π=A ,则△ABC 的面积是 ▲ .9.已知数列{}n a 的通项公式,12+=n a n 则1132211111+-++⋅⋅⋅++n n n n a a a a a a a a = ▲ . 10.在ABC ∆中,,2,60a x b B ===o,若该三角形有两解,则x 的取值范围为 ▲ . 11.在△ABC 中,已知π32,4==A BC ,则AC AB ⋅的最小值为 ▲ . 12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛(如图).现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛,则剩余的圆钢根数为 ▲ .13.已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列,满足12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立,且对任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列,则k 的值为▲ .(第12题)14.已知,4,,=+∈b a R b a 则111122+++b a 的最大值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在等比数列}{n a 中, 0n a >,公比)1,0(∈q ,252825351=++a a a a a a , 且2是3a 与5a 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)设n n a b 2log =,数列}{n b 的前n 项和为n S ,当nS S S n +++Λ2121最大时,求n 的值.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c B c C b +=cos sin 3 (1)求角B ; (2)若2b ac =,求11tan tan A C+的值.17.(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装.根据经验,每生产1百套该款式服装的成本为1万元,每生产x (百套)的销售额(单位:万元)20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤,,, (1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本?(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大,并求最大利润. (注:利润=销售额-成本,其中成本=设计费+生产成本)18.(本小题满分16分)已知0x >,0y >,24xy x y a =++. (1)当16a =时,求xy 的最小值; (2)当0a =时,求212x y x y+++的最小值.19.(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=(*n ∈N ). (1)求证:数列{}n a 为等比数列; (2)若数列{}n b 满足:11b =,1112nn n b b a ++=+,求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =(0a >),其前n 项和为n S ,设1n n n b a a +=+(n *∈N ). (1)若21a a =+,322a a =,且数列{}n b 是公差为3的等差数列,求2n S ;(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,满足2n T n =.① 求数列{}n a 的通项公式;② 若对N n *∀∈,且2n ≥,不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立,求a 的取值范围.江苏省常州高级中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学附加试卷说明:1. 以下题目均为必做题,请将答案写在答卷纸上. 2. 本卷总分40分,考试时间30分钟. 一、 填空题:本大题共4小题,每小题6分,共24分.1.等比数列{}n a 中,若对任意正整数n 都有1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-,则 22212n a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ .2.在△ABC 中,A B 2=,则ab的取值范围是 ▲ .3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,且数列也为等差数列,则10a = ▲ .4.正数y x ,满足111=+y x ,则1813-+-y y x x 的最小值是 ▲ . 二、解答题:本大题共16分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 5.在数列{}n a 中,11a =,283a =,111(1)n n nn a a n λ++=++,λ为常数,*n ∈N . (1)求λ的值; (2)设nn a b n=,求数列{}n b 的通项公式; (3)是否存在正整数r s t ,,(r s t <<),使得r s t ,,与r s t a a a ,,都为等差数列?若存在,求r s t ,,的值;若不存在,请说明理由.江苏省常州高级中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷参考答案一、填空题 1.25 2.32π 3.④ 4. -13 5.326.-37.68.42 9.96+n n10.)334,2( 11.38-12.8 13.25- 14. 452+二、解答题15.解:⑴ 由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=.................2分0>n a ,得355a a +=因为354a a ⋅=得354,1a a ==, 求得12q =, ...................5分 所以52nn a -= ...........................................7分⑵ 2log 5n n b a n ==-............................................9分 因为对任意n N *∈,11n n b b +-=-,所以{}n b 是以4为首项,1-为公差的等差数列.所以292n n n S -=...........................................12分9,90,90,90,2n n n n S S S S n n n n n n n n-=<>==><时,时,时, 所以nS S S n +++Λ2121最大为89n =或者. ...................14分16.解:(1)由正弦定理得sin cos sin sin B C B C C =+,ABC ∆中,sin 0C >,所以cos 1B B -=,................................................3分所以1sin()62B π-=,5666B πππ-<-<,66B ππ-=,所以3B π=;........................6分(2)因为2b ac =,由正弦定理得2sin sin sin B A C =,........................8分11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A Cπ++-+=+====.......................................................................................... .....................12分所以,211sin1tan tan sin sinBA CB B+====..................................14分17(1)05x<≤时,利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x=-+=-+--+=-+-.........................................................................................3分令20.4 3.2 2.80y x x=-+-≥得,17x≤≤,从而15x≤≤,即min1x=..................6分(2)当05x<≤时,由(1)知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x=-+-=--+,所以当4x=时,max3.6y=(万元). .....................................8分当5x>时,利润()()()99()214.729.7333y P x x x xx x=-+=--+=--+--....10分因为9363xx-+=-≥(当且仅当933xx-=-即6x=时,取“=”),所以max3.7y=(万元). .......................................................... 13分综上,当6x=时,max3.7y=(万元).答:(1)该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本;(2)该厂生产6百套此款式服装时,利润最大,且最大利润为3.7万元. .......14分18.(1)当16a=时,241616xy x y=++≥, (3)分即280-≥,4)0∴≥,4,16xy∴≥,.......................................6分当且仅当48x y==时,等号成立。