江西临川一中2018-2019学度高二下学期年中考试数学（理）试题高二数学〔理〕试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

总分值150分，考试时间120分钟。

第一卷〔选择题共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1、复数i z +=1，那么复数zz+4的共轭复数为〔〕A 、i -3B 、i +3C 、i 35+D 、i 35- 2、用数学归纳法证明：“*1111(1,)2321n n n n N ++++<>∈-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是〔〕 A 、12k -B 、21k -C 、2kD 、21k +3、连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为〔m ，n 〕，那么点〔m ，n 〕恰能落在不等式组|4|23x y y +-<⎧⎨≤⎩所表示的平面区域内的概率为〔〕A 、14B 、29C 、736D 、164、某种产品的广告费支出x 与销售额y 〔单位：万元〕之间有如下一组数据：假设y 与x 之间的关系符合回归直线方程a x y+=5.6ˆ，那么a 的值是〔〕 A 、17.5B 、27.5C 、17D 、145、我校为了提高学生的英语口语水平，招聘了6名外籍教师，要把他们安排到3个宿舍去住，每个宿舍住2人，其中教师甲必须住在一号宿舍，教师乙和教师丙不能住到三号宿舍，那么不同的安排方法数共有〔〕A 、6B 、9C 、12D 、18 6、假设22232000,,sin ,a x dx b x dx c xdx a =⎰=⎰=⎰、b 、c 大小关系是〔〕A 、a c b <<B 、a b c <<C 、c b a <<D 、b a c <<7、对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19依照上述分解规律，假设213511m =+++⋅⋅⋅+，3n 的分解中最小的正整数是21，那么m n +=()A 、10B 、11C 、12D 、138、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =图象如下图所示，那么导函数)(x f y '=的图象可能为〔〕9、设(5)n x x -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M —N=240，那么展开式中3x 项的系数为〔〕 A 、150B 、500C 、—150D 、—50010、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且0)1(=f ，当0>x 时，有)()(/x xf x f >恒成立，那么不等式0)(>x xf 的解集为〔〕A 、)1,0()0,( -∞B 、)1,0()1,( --∞C 、),1()0,1(+∞-D 、)1,0()0,1( - 第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.将答案填在题中的横线上. 11、设随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0),N δδξ>≤≤若P(-11)=0.35，那么(3)P ξ>=。

12、由曲线2y x =，2y x =围成的封闭图形的面积为。

13、设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，ABC ∆的面积为S ,内切圆半径为r ,那么2Sr a b c=++,类比那个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234S S S S 、、、,内切球半径为r ，四面体S ABC -的体积为V ,那么r =。

14、一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P 恰好落在圆内的概率是__________。

15、函数()12-+=x x f ，()23+-=x x g ，假设不等式()()K x g x f ≤-的解集为R .那么实数K 的取值范围为.【三】解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，〔其中n N *∈〕⑴求0a 及n n na a a a S ++++= 32132；⑵试比较nS 与3n 的大小，并说明理由、 17、〔本小题总分值12分〕某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生.调査结果说明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般.〔Ⅰ〕试依照以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？〔Ⅱ〕将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率. 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a bc d =+++. 18、〔本小题总分值12分〕函数()21f x x x =+--、〔1〕试求)(x f 的值域； (2)设233()(0)ax x g x a x-+=>，假设对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞，恒()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围19、〔本小题总分值12分〕在本次数学期中考试试卷中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。

评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”.某考生每道题都给出一个答案,且已确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道能够判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。

试求出该考生： 〔1〕选择题得总分值(50分)的概率； 〔2〕选择题所得分数ξ的数学期望。

20、〔本小题总分值13分〕 函数2()ax f x x b=+在1x =处取得极值2.⑴求函数()f x 的解析式；⑵假设函数()f x 在区间(,21)m m +上是单调函数，求实数m 的取值范围； 21、〔本小题总分值14分〕3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f〔1〕求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值〔2〕对一切的)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围 〔3〕证明对一切),0(+∞∈x ，都有ex ex x 21ln ->成立临川一中2017—2018年度下学期期中考试高二数学〔理〕答案【一】选择题：DBDAD BCBAB , 【二】填空题： 11、0.1512、4313、12343VS S S S +++14。

4π15、[)∞+，2 【三】解答题： 16、解：⑴取1x =，那么02n a =；…………1分对等式两边求导，得123211)1()1(3)1(2)1(---++-+-+=+n n n x na x a x a a x n ，取2x =，那么1321332-⋅=++++=n n n n na a a a S 。

…………4分⑵要比较n S 与3n 的大小，即比较：13-n 与2n 的大小，当2,1=n 时，213n n <-； 当3=n 时，213n n =-；当4,5n =时，213n n >-；…………6分猜想：当4n ≥时，213n n >-，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =时结论成立，假设当,(4)n k k =≥时结论成立，即213k k >-， 当1n k =+时,211)1(3333k k k >⋅>--+而02313421)1(2122)1(3222>=-⨯⨯≥--=--=+-k k k k k k ∴2211)1()1(3333+>>⋅>--+k k k k 即1n k =+时结论也成立，∴当4n ≥时，213n n >-成立。

…………11分 综上得，当2,1=n 时，2n S n <；当3=n 时，2n S n =；当*,4N n n ∈≥时，2n S n >…………12分17、18.解：〔1〕函数可化为3(2)()21(21)3(1)x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩,()[]3,3f x ∴∈-………5分(2)假设0x >，那么2333()3233ax x g x ax a x x-+==+-≥，即当23ax =时，()min 233g x a =，又由〔Ⅰ〕知()max 3f x ∴=、……………………8分假设对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即()ming x ≥()maxf x ，2333,a ∴≥3a ∴≥，即a 的取值范围是[)3,+∞、…………………12分19、解：〔1〕得分为50分，10道题必须全做对、在其余的3道题中，有1道题答对的概率为12，有1道题答对的概率为13，还有1道答对的概率为14，因此得分为50分的概率为：1111.23424P =⋅⋅=…………5分〔2〕依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝…………6分 得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错， 因此概率为112361.234484P =⋅⋅==…………7分 得分为40分的概率为：212311312111.23423423424P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=…………8分 同理求得，得分为45分的概率为：36.24P =…………9分 得分为50分的概率为：41.24P =…………10分 因此得分ξ的分布列为数学期望1248540150246452411404135=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分20、解：⑴求导222222()(2)()'()()()a x b ax x a x b f x x b x b +--+==++，又()f x 在1x =处取得极值2，因此'(1)0(1)2f f =⎧⎨=⎩，即2(1)0(1)21a b b a b -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩，因此24()1x f x x =+；…………6分 ⑵因为224(1)(1)'()(1)x x f x x --+=+，又()f x 的定义域是R ，因此由'()0f x >，得11x -<<，因此()f x 在[1,1]-上单调递增，在(,1][1,)-∞-+∞和上单调递减，当()f x 在区间(,21)m m +上单调递增，那么有121121m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，得10m -<≤，…………9分当()f x 在区间(,21)m m +上单调递减，那么有21121m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121m m m ≥⎧⎨+>⎩，得1m ≥…………12分.综上所述，当10m -<≤时，()f x 在(,21)m m +上单调递增，当1m ≥时，()f x 在(,21)m m +上单调递减；那么实数m 的取值范围是10m -<≤或1m ≥.…………13分 21、解：〔1〕'()ln 1,f x x =+当1t e <时，()f x 在1(,)t e 单调递减，在1(,2)t e+单调递增min11()()f x f e e∴==-，当e 12+<≤t t ，即e t 1≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ，tlnt )t ()(min ==f x fmin110-()e 1tlntt e f x t e<<⎧⎪∴=⎨⎪≥⎩，…………4分 〔2〕3ln 22-+-≥ax x x x ，那么,3ln 2xx x a ++≤设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ， 那么0)('),1,0(,)1)(3()('2<∈-+=x h x xx x x h ，)(x h 单调递增，),1(+∞∈x ，0)('>x h ，)(x h 单调递减，4)1()(min==∴h x h ，因为对一切),0(+∞∈x ，)()(2x g x f ≥恒成立，4)(min =≤∴x h a …………9分〔3〕问题等价于证明e ex x x x 2ln ->，),0(+∞∈x ，由〔1〕可知x x x f ln )(=，),0(+∞∈x 的最小值为e 1-，当且仅当x =e1时取得设e e x x m x 2)(-=，),0(+∞∈x ，那么xex x m -=1)('，易得==)1()(max m x m e 1-。