由于L是 S 的下确界, 所以对于任意 0，可以对a, b
作一分法,
a x0' x1'
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S'满足S' L，S' L , 及
2
0 S'－L
2
固定了p及 xi' 以后, 可取
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§2. 定积分存在的条件
min x1' x0' , x2' x1' ,
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，只要证明，对任意的分法
a x0 x1 xn1 xn b
只要 时，就成立
SL SL
即可.
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而S3 S3 , 所以S1 S2.
记
l supS , L inf S
则l L .
定理4 对任何有界函数f x ,必有 达布定理
lim S L, lim S l
0
0
其中规定为对任意的分法,
max i
xi
.
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§2. 定积分存在的条件
证明 我们就上和的情形加以证明.
§2. 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 xn1 xn b
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2, ,n
记
Mi sup f x x xi1, xi mi inf f x x xi1, xi
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§2. 定积分存在的条件
证 设原有分点为a x0 x1 xn1 xn b,
不失一般性，不妨假定只在 xi1, xi 中插入一个新分点x ' : xi1 x ' xi .
记
Mi1 sup f x x xi1, x ' , Mi2 sup f x x x ', xi
及 x'j , xi 的上确界，那么对于含有x'j的这种部分区间
xi1, xi 作和，得
*
0 SS
Mi xi xi1
Mi1
x
' j
xi 1
Mi2
xi
x
' j
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§2. 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
显然Mi1 Mi , Mi2 Mi ， 所以
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§2. 定积分存在的条件
Mi1 Mi , Mi2 M2 , 因此 S' S.
同理可证S ' S 。
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§2. 定积分存在的条件
定理2 对于一切分法，上和的集合 S 有下界
m b a ,下和的集合S有上界M b a .这里分别
xi xi xi1
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§2. 定积分存在的条件
作和式
n
S Mixi i 1
n
S mixi i 1
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，统称
达布和。
定理1 如果在原有的分点中加入新的分点，则上和不增， 下和不减。也就是说，若加入新分点后对应的上和及下和 分别记为S'及S ',则S ' S， S ' S.
用M及m记f x 在a,b的上确界及下确界.
证 沿用以上记号，显然有mi M , Mi m。于是有
n
n
S Mixi mxi m b a
i 1
i 1
同理可证S M b a .
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§2. 定积分存在的条件
定理3 任一个下和S总不超过任一个上和S，即使是 对应于不同分法的上和及下和.
证 对于a, b设有两个独立的分法，对应的达布和分别记为
S1，S1及S 2，S 2 , 下证S1 S 2 .
把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法， 对应的达布和分别记为S3 , 及S 3，于是由定理1 可知
S1 S3, S3 S2 .
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§2. 定积分存在的条件
定理5 定积分存在的第一充分必要条件 函数f x在
a, b可积的充分必要条件是L l, 即
n
lim f
0 i1
i
xi I .
证明：先证必要性。设f x在a,b可积,则按定义，可设
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§2. 定积分存在的条件
n
lim f
0 i1
i
xi I .
此处xi xi xi1,亦即对任意的 0，存在 0，
及
xn1 , xn
内，因此，含有x
'的部分区间
j
xi1 , xi
最多
只有p 1个。
另一方面，若 xi1, xi 中不含有x'j的点，则在S
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§2. 定积分存在的条件
中及S*中都含有项Mi xi xi1 ，从而在差S S*中 只剩下 xi1 , xi 中含有x'j点的那些项的差. 设 xi1, xi 中含有点x'j , 而Mi1，Mi2分别为f x 在 xi1 , x'j
§2. 定积分存在的条件
事实上，合并以上两个分法的分点，作为新分法的
分点，这样得到一个新的分法，设其对应的上和为S* ,
那么,由于任一长度xi
xi1都小于任一长度x'j
x'j
，
1
所以在每一部分区间 xi1, xi 内至多只有 x'j 中的一个点.
又因x0' , x'p分别与x0 , xn重合，因而它们不在 x0 , x1
0
Mi
f
i
2b
a
于是
n
n
S f i xi Mi f i xi
使对任意的分法a x0 x1 xn b及 xi1 , xi
上任意的点，只要 max i1,2, ,n
xi
，就有
n f
i 1
i
xi I 2
设Mi为f x在xi1, xi 上的上确界。按上确界定义，
可得i xi1, xi ，使
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§2. 定积分存在的条件
Mi Mi2 xi x'j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
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§2. 定积分存在的条件
于是将上面的两个不等式相加，得
0 SL
定理证毕。