【例4】求 ．
【解】
．
【注】本例中没有出现循环递推的形式，所以放在这里是为了提醒大家当出现 减 的时候，不能将它们完全抵消，而要留下一个任意常数．
上述问题也可以改作为用循环递推法计算定积分的例子，这意义就不大了．下面举几个原函数不是初等函数的定积分计算例子，注意到定积分值与积分变量名称无关，可以考虑使用换元法．为了与原积分 可以做比较，必须保持积分区间 不变，翻折变换 可以达到此目的．所谓翻折变换是以区间 的中点为不动点的翻折．
【例5】求 ．
【解】在翻折变换 下，有
，
所以，有 ．
【例6】求 ．
【解】在翻折变换 下，有
，
所以，有 ．
利用循环递推法计算不定积分时，因为不定积分的计算结果与积分变量的名称有关，所以比较适合用分部积分法，而这时换元积分法恐怕是没有用的．
【例1】求 ．
【解】
．
所以 ，即 ．
【例2】求 ．
【解】
，
所以 ．
【例3】求 ．
【解】
．
所以，有 ．
【注】本题用换元 的方法，一样可以得到结果，但还要用到三角倍角公式和回代的过程，略显麻烦．
循环递推法
循环递推法是积分计算的一种重要的辅助方法．对于某些积分问题，在通过换元积分法或分部积了原积分的表达式
．
这样，实际上也就得到了需要的结果了，这种方法称为循环递推法．
这里需要注意的是：若 表示的是不定积分，等式另一边的 虽然表示的是同一个函数的不定积分，但是应该有一个常数的差别．所以在移项合并时，必须留下一个常数．