0I B
2πR
R
oR r
12
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限长载流圆柱面的磁场分布。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r

解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r 13

LB dl μ0 I

B d l
L

μ0 ( I1
I1
I1
I2)


μ（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
思考：

1） B 是否与回路 L 外的电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
2πR
当 2R d 时，
螺绕环内可视为均匀场。
令：n N
2R
B μ0nI
第10章 稳恒磁场
d
R
10
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：无限长载流圆柱体的磁场。
I
解：1）对称性分析
2）选取回路

r R :
Bdl
l

μ0 I
RR
L
r
B
2 π rB 0I,
B μ0 I 2πr
电流共同产生的。
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。
4）安培环路定理说明磁场性质 —— 磁场是非保守场，是涡旋场。
5）闭合回路包围电流的判断：
以闭合回路为边界任意做一曲面，电流穿过
曲面就算包围。
5
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
讨论： 安培环路定理
当闭合路径 L 的方向与电流方向呈右手螺 旋关系时，电流 I 取正号；反之，取负号。
1
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
安培环路定理的推证（以长直电流的磁场为例）：
考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线 的磁感强度为：
B μ0I 2πrI源自 B B dl
μ0 I dl
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限大平面电流的磁场。
解： 面对称。

B dl B dl B dl ab bc
B dl B dl
cd
da
i

B b
P
b
d


Ba dl
μ0abi
Bc dl
B
2Bab

μo (I1

I2)
2）
B dl L

μo ( 2I I ) oI
3）
B dl
L
μo( 2I ) 2o I
4
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场

明确几点：
B dl
L

μ0
I i内
1）I内 是闭合路径 L 所包围的电流的代数和。 2）B 是指环路上一点的磁感应强度，它是空间所有
L
MN
NO
OP
PM
B MN μ0nMNI B μ0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等， 外部磁场为零。
9
10.4 安培环路定理
例：求载流螺绕环内的磁场。
解 1） 对称性分析： 环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。
2） 选回路。
Bdl
l

2 π RB

0 NI
B 0 NI
6
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。关健是：根据磁场分布的对称性， 选取合适的闭合回路。
选取回路原则：
1) 回路要经过所研究的场点。
2) 回路的长度便于计算；

3) 要求回路上各点B 大小相等，B 的方向与环路方向
一致，

目的是将
强度趋于零 ，即 B 0 。
8
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
2 ) 选回路 L 。
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋。

M
NB
++++++++++++
P
LO

B d l B d l B d l B d l B d l
10.4 安培环路定理

静电场： E dl 0 L
一、安培环路定理
第10章 稳恒磁场

稳恒磁场： B dl ? L
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度
B
沿任一闭
合路径的线积分，等于该闭合路径所包围电流的代
数和乘以 μ0 ，即：

B dl L

μ0
I i内
I
L
注意： 包围电流正负的规定 ：
B dl
L

μ0
I 写成 B μ0 I dl
L
7
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
二、安培环路定理的应用举例
例：长直密绕螺线管，单位长度上电流匝数为 n ， 求：螺线管内的磁感应强度分布。
B
++++++++++++
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁力线平行于轴线，
且在同一条磁力线上各点的 B 大小相等， 外部磁感
0 r R :
Bdl
l

0
πr2 π R2
I
2 π rB

0r 2
R2
I,
B

μ0 Ir 2π R2

I . dB
dI B
11
10.4 安培环路定理
第10章

B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B

0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
稳恒磁场
I
0i
2
c
x
推广：有厚度的无限大平面电流
a d
B'
• 在外部 B μ0 jd / 2 d j
• 在内部 B μ0 jx
14
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
课堂练习：同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导 体圆筒内外半径分别为R2、 R3，电缆载有电流 I， 求：磁场的分布。
L
L 2πr
dl
or
B dl
μ0 I
dl
L
2πr L
L

B dl L

μ0 I
设闭合回路 L 为圆形回路
（
L与
I
成右螺旋） 2
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
I
B

若回路绕向变为逆时针时，则：
dl
or
Bdl
μ0I dl
L
L 2πr
L
0I
2π
d
2π 0
L 与 I成左螺旋
0I
dl rdθ
3
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
包围电流正负的判断 ：
即：右手拇指伸直，弯曲四指与闭合路径 L 的 方向一致时，拇指的指向即为电流的正方向。
I1
I2
I3
I I
I
L
LL
图1
图2
图3
I
1）
B dl L