点与直线问题
(1)点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C=0
的距离
(运用本公式要把直线方程变为一般
式)
(2)两条平行线
之
间的距离
(运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的)
(3)点 P (x ,y )关于Q (a ,b )的对称点为P'(2a -x ,2b -y )
(4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“平分”
设 P (x 0,y 0),l :Ax +By +C=0(A 2+B 2≠0),若P 关于l 的对称点的坐标Q 为(x ,y ),则l 是PQ 的垂直平分线,即①PQ ⊥l ;②PQ 的中点在l 上,
解方程组可得 Q 点的坐标
例1
求点P = (–1,2 )到直线3x = 2的距离 解:22
|3(1)2|5330d ⨯--=
=+ 例2 已知点A (1,3),B (3,1),C (–1,
0),求三角形ABC 的面积.
解:设AB 边上的高为h ,则
221
||2||(31)(13)22
ABC S AB h AB =⋅=-+-=V
AB 边上的高h 就是点C 到AB
的距离. AB 边所在直线方程为31
1331
y x --=
-- 即x + y – 4 = 0.
点C 到x + y – 4 = 0的距离为h
2|104|5112
h -+-==+,
因此,15225
22S ABC =⨯⨯= 例3 求两平行线
l 1:2x + 3y – 8 = 0
l 2:2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一:在直线l 1上取一点P (4,0),因为l 1∥l 2,所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离,于是
22|243010|21313
23
d ⨯+⨯-==+ 解法二: 直接由公式22
|8(10)|21313
23d ---=
=+
例 4、求直线3x -y -4=0关于点P (2,-1)对称的直线l 的方程
解析: 设直线 l 上任一点为(x ,y ),关于P (2,1)对称点(4-x ,-2-y )在直线3x -y -4=0上.
∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0∴ 3x -y -10=0 ∴ 所求直线 l 的方程3x -y -10=0
例5. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上,顶点A 的坐标是(1,–2).求边AB 、AC 所在直线方程.
(AC 的直线方程为:3x – 2y – 7 = 0 AB 的直线方程为:x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.)
1. 分别求点()2,3P -到下列直线l 的距离:
(1)2390x y +-=; (2)7x =; (3)3y =; 2. 若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离等于4,求a 的值;
3. 若直线1:220l ax y ++=与直线2:320l x y --=平行,求两直线的距离;
4. 已知ABC ∆中,()()3,2,1,5,A B C -点在直线330x y -+=上,若ABC ∆的面积为10,求点C 的坐标;
5. 若直线l 通过直线75240x y +-=和直线0x y -=的交点,并且点()5,1到直线l 的距离为10,求直线l 的方程;
6. 已知一个三角形的顶点为()()()2,3,4,1,4,1A B C --,直线//l AB ,且l 将
ABC ∆的面积分成相等的两部分,求l 的方程;
7. 求点()4,0关于直线54210x y ++=的对称点的坐标;
8.如图,一次函数7y x =-+与正比例函数4
3
y x =
的图象交于点A ,且与x 轴交于点B. (1)求点A 和点B 的坐标;
(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l∥y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒.
①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由。
l
R
P
C A
B
O
y
x
9.如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是(﹣4,0),点B 的坐标是(0,b )(b >0).P 是直线AB 上的一个动点,作PC⊥x 轴,垂足为C .记点P 关于y 轴的对称点为P´(点P´不在y 轴上),连接PP´,P´A,P´C.设点P 的横坐标为a . (1)当b =3时,
①求直线AB 的解析式;
②若点P′的坐标是(﹣1,m ),求m 的值; (2)若点P 在第一象限,记直线AB 与P´C 的交点为D .当P´D:DC=1:3时,求a 的值;
(3)是否同时存在a ,b ,使△P´CA 为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a ,b 的值;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)①利用待定系数法考虑。
②把(﹣1,m )代入函数解析式即可。
(2)证明△PP ′D ∽△ACD ,根据相似三角形的对应边的比成比例求解。
(3)分P 在第一,二,三象限,三种情况进行讨论。
10.已知直线3
+=kx y (k <0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t 秒.
(1)当1
-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度 同时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动(如图1). ① 直接写出t =1秒时C 、Q 两点的坐标;
② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值.
(2)当4
3-=k 时,设以C 为顶点的抛物线n
m x y ++=2
)(与直线AB 的另一交点为D (如图2), ① 求CD 的长;
② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大?
【思路点拨】(1)②分两种情形讨论。
(2)①过点D 作DE ⊥CP 于点E ,证明△DEC ∽△AOB 。
②先求得三角形COD 的面积为定值,又由Rt △PCO ∽Rt △OAB ,在比例线段中求出t 值为多少时,h 最大。