均值不等式专题讲解
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。
. 二、用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。
例1：下列命题中正确的是【 】
A 、x x 1
+
的最小值为2； B 、x
x -+22的最小值为2； C 、b
a
a b +的最小值为2；
D 、θθcot tan +的最小值为2。
点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。
例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？
⑴若0>x ，则221213x
x x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；
⑵若⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=⋅x x ； ⑶若R x ∈，则
(
)
4
144
144
1)4(4
52
22
2
2
2
2
2
2
++
+=
+++=
+++=
++x x x x x x x x ≥2。
点评：只有在各式都相等的前提下，均值不等式才有可能取等号，实践中要注意验证。
例3：⑴已知1>a ，则1
1
1-++a a 的最小值是 。
⑵函数)38()(x x x f -=)30(<<x 的最大值是 。
⑶函数x x y cos sin 2
⋅=(2
0π<
<x )的值域是 。
⑷若a 、b 为正数，且12
2
2
=+b a ，则21b a +的最大值 。
点评：本例应采用拼凑的思想解答，主要包括：先加再减、先乘再除、先平方再开方。
例4：⑴若R m ∈，则1
22
2++m m 的最小值是 。
⑵函数3
22
)(--=
x x x f )2(>x 的最小值是 。
⑶函数1
10
92)(2+++=x x x x f )1(->x 的最小值是 。
⑷设a 、b 均为正常数，函数x
b x a x x f )
)(()(++=)0(>x 的最小值是 。
点评：本例应采用拆分的思想解答，把函数式拆成两项或两项以上，问题就会明朗起来。
例5：⑴已知0>x ，0>y ，且
19
1=+y
x ，则y x +的最小值为 。
⑵若+
∈R b a ,且3=+b a 1b +的最大值为 。
⑶已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-111122b a 的最小值为 。
点评：把已知条件和所求式子结合在一起，先进行彻底地变形，方能用上均值不等式。
例6：⑴已知45<
x ，则函数5
41
24)(-+-=x x x f 的最大值为 。
⑵函数)
1(22
22-+-=x x x y )11(<≤-x 的最大值为 。
⑶若1>a ，10<<b ，则a b b a log log +的取值范围是 。
⑷函数x
x x f 4
)(+
=的最大值为 。
点评：如果各式都是负数，必须先全部转化成正数，然后再把负号处理掉。
例7：⑴已知0>x ，则函数2
1
3x x y +
=的最小值 。
⑵若0>x ，则x x 122
+的最小值为 ，2
21x x +的最小值为 。
⑶若10<<x ，则)1(2
x x -的最大值为 ，)1(2
x x -的最大值为 。
点评：新教材只保留两个正数的均值不等式，但有一些题目两个正数的均值不等式是解决不了的，这时我们可以将两个正数拆成三个正数，切记：往往遵循对半拆的原则。
例8：⑴函数4
5)(2
2++=
x x x f )(R x ∈的最小值为 。
⑵已知32
2
=+y x ，12
2=+n m ，则ny mx +的最大值为 。
点评：均值不等式并不是万能的上帝，其实求最值的办法还有很多，你知道多少呢？
例9：已知正数x 、y 满足12=+y x ，求
y
x 1
1+的最小值。
错解：∵0>x ，0>y ， ∴y x 2+≥xy y x ⋅=⋅2222，∵12=+y x ， ∴1≥xy ⋅22xy 1⇒≥22，∴y x 11+≥xy
xy 1
212⋅=≥24，∴y x 11+的最小值
为24。
点评：因为均值不等式要求比较苛刻，所以多次使用均值不等式常常会引起错误。
巩固练习：
1、已知：b n m a y x =+=+2
2
2
2
,且b a ≠，则ny mx +的最大值为【 】
(A)ab (B)2b a + (C)2
2
2b a + (D)222b a +
2、若+
∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】
(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：
①)(233
+
∈>+R x x x ；②),(3
2
2
3
5
5
+
∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(22
2
--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+
∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】
(A)4)1
1)((≥++b a b a (B)
ab ab b a 222≥+ (C)21≥+ab
ab (D)ab b a ab ≤+2
5、设+
∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】
(A)12- (B)
212- (C)12+ (D)2
1
2+ 6、若实数b a ,满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是【 】
(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7.若0>a ，0>b ，1=+b a ，则下列不等式恒成立的是【 】
A 、ab b a ++≥45
B 、2
2b a +≤21 C 、 b a 11+≥4 D 、ab
⎪⎭
⎫ ⎝⎛811≤31
8.已知21-+
=a a m )2(>a ，2
221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x n )0(<x ，则m 、n 的大小关系是【 】 A 、n m > B 、n m < C 、m ≥n D 、m ≤n
9.已知x
x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(，a 、+
∈R b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2b a f A ，()
ab f G =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a ab f H 2，
则A 、G 、H 的大小关系是【 】
A 、A ≤G ≤H
B 、A ≤H ≤G
C 、G ≤H ≤A
D 、H ≤G ≤A
10.若2lg lg =+y x ，则y
x 1
1+的最小值为
11.函数1
1612+++
=x x x x y )1(>x 的最小值是 12、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,2
2++中最大的是 .。