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基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:双基自测1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞)D .(2,+∞)2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab≤2;③x 2+1x 2+1≥1,其中正确的个数是( ).A .0B .1C .2D .33.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.12 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x +1x -2(x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________.考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )=2xx 2+1的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x +1x -1的最小值为________. (2)已知0<x <25,则y =2x -5x 2的最大值为________.(3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________.考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +abc ≥a +b +c . .【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________.考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )=80n +1.若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元. (1)求出f (n )的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【试一试】 (2010·四川)设a >b >0,则a 2+1ab +1a (a -b )的最小值是( ).A .1B .2C .3D .4双基自测D .(2,+∞) 答案 C2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1-1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤12.答案 A4.解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2+2≥2(x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3.答案 C5.解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2,当且仅当t =1时取等号.答案 -2【例1】解析 (1)∵x >0,y >0,且2x +y =1,∴1x +1y =2x +y x +2x +y y =3+y x +2x y ≥3+2 2.当且仅当y x =2xy 时,取等号. (2)∵x >0,∴f (x )=2x x 2+1=2x +1x≤22=1,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号.答案 (1)3+22 (2)1【训练1】.解析 (1)∵x >1,∴f (x )=(x -1)+1x -1+1≥2+1=3 当且仅当x =2时取等号.(2)y =2x -5x 2=x (2-5x )=15·5x ·(2-5x ),∵0<x <25,∴5x <2,2-5x >0,∴5x (2-5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x +2-5x 22=1,∴y ≤15,当且仅当5x =2-5x , 即x =15时,y max =15.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴2y +8x =1, ∴x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +2y =10+8y x +2x y =10+2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x +x y ≥10+2×2×4y x ·xy =18,当且仅当4y x =xy ,即x =2y 时取等号,又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6, ∴当x =12,y =6时,x +y 取最小值18. 答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a >0,b >0,c >0,∴bc a +cab ≥2 bc a ·ca b =2c ;bc a +abc ≥2bc a ·ab c =2b ;ca b +ab c ≥2ca b ·ab c =2a .以上三式相加得:2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a +ca b +ab c ≥2(a +b +c ),即bc a +ca b +abc ≥a +b +c .【训练2】证明 ∵a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,∴1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +cb +a +b +c c =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫c b +b c ≥3+2+2+2=9,当且仅当a =b =c =13时,取等号.解析 若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,只需求得y =xx 2+3x +1的最大值即可,因为x >0,所以y =xx 2+3x +1=1x +1x +3≤12 x ·1x=15,当且仅当x =1时取等号,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy =x +2y ≥2 2xy ,得xy ≥8,于是由m -2≤xy 恒成立,得m -2≤8,m ≤10,故m 的最大值为10.答案 10【例3.解 由题意可得,造价y =3(2x ×150+12x ×400)+5 800=900⎝ ⎛⎭⎪⎫x +16x +5800(0<x ≤5),则y =900⎝ ⎛⎭⎪⎫x +16x +5 800≥900×2x ×16x+5 800=13 000(元), 当且仅当x =16x ,即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低. 【训练3】 解 (1)第n 次投入后,产量为(10+n )万件,销售价格为100元,固定成本为80n +1元,科技成本投入为100n 万元.所以,年利润为f (n )=(10+n )⎝⎛⎭⎪⎫100-80n +1-100n (n ∈N *).(2)由(1)知f (n )=(10+n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100-80n +1-100n =1 000-80⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1+9n +1≤520(万元).当且仅当n +1=9n +1,即n =8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.【示例】.正解 ∵a >0,b >0,且a +b =1, ∴1a +2b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b (a +b )=1+2+b a +2ab ≥3+2b a ·2ab =3+2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a +b =1,b a =2ab,即⎩⎨⎧a =2-1,b =2-2时,1a +2b 的最小值为3+2 2. 【试一试】尝试解答] a 2+1ab +1a (a -b )=a 2-ab +ab +1ab +1a (a -b )=a (a -b )+1a (a -b )+ab +1ab ≥2a (a -b )·1a (a -b )+2ab ·1ab =2+2=4.当且仅当a (a -b )=1a (a -b )且ab =1ab ,即a =2b 时,等号成立.答案 D。

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