（1 ）角频率：co == 393矿ad/L ,c 0.5Hz ,2兀 c / =2s ； J9.80 = Acos(3.13r+ ^) ,「・ 〃 = —3.13*sin(3.13，+ °)e . ecos (p = — , sm(p = -可解得：A = 8.8xl0-2/n,。

= 227°=-133°=-2.32,g （2）振动方程可表示为:根据初始条件，（二0时:>0(1,2 象限) 3.13A ( <0(3,4象限) 3.1 .原长为0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg 的物体，当物体静止.时，弹簧长为0.6m.现 将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。

（g 取 9.8）解：振动方程：x = A cos （69f + （p ）,在木题中，kx = mg ,所以A =9.8；取竖直向下为x 正向，弹簧佃长为0.1所时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那 么：A=0.1m,当-0时，尸-A,那么就可以知道物体的初相位为私所以：x = 0.1 cos （>/98r + 即：x = -0.1 cos （V98r ） 0 3-2.有一单摆，摆长/ = 1.0m,小球质量m = 10g , 1 = 0时，小球正好经过0 - -0.06rad 处，并以角 速度0 = O.2rad/s 向平衡位置运动。

设小球的运动可看作简谐振动,试求：（1）角频率、频率、周期；（2） 用余弦函数形式写出小球的振动式。

（g 取9.8）解：振动方程：x = Acos （口（ + 9）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

3-3. 一质点沿尤轴作简谐振动，振幅为12cm,周期为2s 。

当t = 0时，位移为6cm,且向尤轴正方向运 动。

求：（1）振动表达式;（2），= 0.5s 时,质点的位置、速度和加速度;（3）如果在某时刻质点位于JV = -6cm , 且向尤轴负方IE 运动，求从该位置I 可到平衡位置所需要的时间。

2/r解：（1）由题己知 A=0.12m, T=2 s ,「• co ———=71Trr又•.•/=0时，x 0 = 6cm , v 0 >0,由旋转矢量图，可知：（p =——TT故振动方程为：x = 0.12cos （混—一）m ；3（2）将r=0.5s 代入得：x = 0.12 cos （混一马）= 0.12 cos g = 0.104m,3 6v = 一0.12/rsin （H -马）=0.12cosg = -0.188m/s , 3 6 a = 一0.12/2 cos （混-生）=-0.12/ cos — = -1.03m/s?,36方向指向坐标原点，即沿x 轴负向；A（3）由题知，某时刻质点位于x = -6cm =——，2g _频率：八土周期：T = 171!。

（2）当 Ep = Ek =?E 时，有:cos（C + 9）= sin“（c + e ）/• COS （Ct ）t +（p ） = ±1TT且向X 轴负方向运动,如图示，质点从P 位置回到 平衡位置Q 处需要走八= - + 建立比例式： 业 43 22兀 T有：\t = -s 。

63-4.两质点作同方|”、同频率的简谐振动，振幅相等。

当质点1在%, =>4/2处，且向左运动时，另一 个质点2在x 2 =-4/2处，且向右运动。

求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：当质点1在%! =A/2处，且向左运动时, 相位为生,而质点2在x 2 =-A/2处，且向右运动,4勿相位为丁。

所以它们的相位差为勿。

3-5.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由 E ft = —kx 1, E k =-/nv 2,有：E p = —kA 2 cos 2（cot + （p ）,E k =-mco 2A 2sin 2（cot +（p ） = — kA 2sin 2A（1）当 x =—时，由 x = Acos （刃 f + e ）,Q z x 1、g卷:cos （c + 饥=—,sin （^r +（p ） =——，3-6.两个同方I 何的筒谐振动曲线（如图所示） （1） 求合振动的振幅。

（2） 求含振动的振动表达式。

解：通过旋转矢量图做最为简单。

由图可知，两个振动同频率，且 & 初相：9]= — , A 2 初相：（p 2 --- ,表明两者处于反相状态，（反相△ （p =（P 】-（p\ = ±（2k +1）勿，A =0,1,2，…）A = ±0.707A ox =・.・A|VA,,.•・合成振动的振幅：A = A, - A ；JI 合成振动的相位：（p = （p2;2勿TC 合成振动的方程：x = M2-A1）cos（—Z一一）o1 T 2TT3-7.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为一°若第一6个振动的振幅为10j§cm。

则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知人：=A.2 + A2 -2A. A cos 30° =0.01 m £ 1 1.\A 2=0.1 m ,_Irrt^n. . .llf sin。

sin30°..再利用正弦TH理：-- = ------- ，右:A A.A rrsin 0 = --- = 1, /. 0 = —o2A2 2说明们与A?间夹角为丸/2,即两振动的位相差为兀/2 。

3-8.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:/ \ （x = 4 cos8勿，+ x = 4 cos8洲+ 一(1) << 6J ；(2) <<6(( 5v = 4 cos软t——y = 4 cos I161)x = 4cos 8勿，+ —（3） J ；6，、。

试判别质点运动的轨迹。

）f o2”y = 4cos 8混 + ——解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂宜运动的叠加。

对于x = Acos（仞+代），），= 4cos（口，+代）的叠加，可推得: X2 + y2 -2xycos（（p x-（p y） = A2 sin'（代一（p y）TT TT c r TT c 7T（1）------------------ 将（p x = — , （p y = 代入有：x~ +- 2x y cos — = 16 sin"—,6 6 3 3则方程化为：J + y2f）, = ]2,轨迹为一般的椭圆；TT S/T（2） ----------------------- 将（p\= — , （p、.=代入有：x2 + y2 -2xycos7i = 16sin2TI6 6则方程化为：x2 + y2-2xy = 0f即工+），= 0,轨迹为一直线；（3）将甲\=三,cp、,二号代入有：x2 + y2 -2x y cos- = 16sin2三则方程化为：F +尸=4、轨迹为圆心在原点，半径为物的圆。

TT3-9.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与8, B点振动相位比A点落后一，已知振动6周期为2.0s,求波长和波速。

JI解：根据题意，对于A 、B 两点，=（p 〔 一（p 、= 一, Ax = 2”?, 6 而相位和波长之间满足关系：、（p=（p 〔 一（P 、=---茨土2勿=一三^2勿， A . u = — = l 2m / s o T 代入数据，可得：波长九=24m 。

又...7'=2s,所以波速3-10.已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点。

为工]处户点的振动式为），二Acos （欲+ Q ），波速为, 求：（1） 平面波的波动式；（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何？X解：（1）设平面波的波动式为），= Acos [刃（f-一）+妇，则，点的振动式为:Uy P = Acos[^y （r- —）+^0],与题设户点的振动式）》=A cos （仞+ °）比较， U 有：0（）= 竺1• +（/?,..・平面波的波动式为：y = A cos[69（r - X A,） + cp\ ； u " x 、 （2）若波沿X 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y = AcosW （/ + 一 ）+%],则户点的振动式 u 为：y P = Acos[/（/ +当■）+%],与题设P 点的振动式 y p = Acos （cot + （p ）比较， a 有：伊0=-竺巡+ 9，.•・平面波的波动式为：y = /Icos[ty （f + — —1） +（/）] oU 以3-11.—平面简谐波在空间传播，如图所示，已知人点的振动规律为y = AcosQwf+ 0）,试写出:（1） 该平面简谐波的表达式；（2） 3点的振动表达式（8点位于A 点右方d 处）。

解：（1）彷照上题的思路，根据题意，设以。

点为原 为：Xy = Acos[2;zv （£ + — ）+饱],则A 点的振动式：u= Acos[2^v （r + —）+^?0]U点平面简谐波的表达式题设A 点的振动式y = A COS （2TZV ，+ 9）比较，有：％2TTV I +(p, U/ X・.・该平面简谐波的表达式为：y = Acos[27rv (f + —+二)+ e]U U(2) B 点的振动表达式可直接将坐标x = d — l,代入波动方.程：3-12.已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，，= Ls 时的波形如图所示，且周期T 为2s°3v/cm910 ---------(1) (2) (3) (4) 写出。

点的振动表达式; 写出该波的波动表达式； 写出4点的振动表达式; 写出4点离。

点20x/cm（4）将A 点的坐标代入波动方程,播。

己知原点的振动曲解：由图可知：A = 0.1m , 2 = 0.4m ,而T = 2s ,贝土 u = A/T = 0.2m/s ,2 兀 2/rCD =——=7i, k =——=5勿,二波动方程为：y = 0.1 cos(m t -5TT x +(p Q ) T A 。

点的振动方程可写成：y 0 =0.1cos()，+ Go )1 71由图形可知：t = -s H'J'： y 0 = 0.05 ,有:0.05 = 0.1cos(—+ %)考虑到此时^<0, /.%=-,—(舍去)dt ° 3 3jr那么：（1）。