§1.1集合的概念及其基本运算基础自测1.（2008·山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 .答案 22.设集合A ={1，2}，则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数是 .答案 43.设全集U ={1，3，5，7}，集合M ={1，|a -5|}，,U M ⊆U M ={5，7}，则a 的值为 .答案 2或84.(2008·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则U （AB ）等于 .答案{}5,4,15.（2009·南通高三模拟）设集合A ={}R ∈≤-x x x ,2|2||，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ，则R（A B ）= .答案 （-∞,0） (0, +∞)例题精讲例1 若a ,b ∈R ,集合{},,,0,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b ab a b a 求b -a 的值.解 由{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b ab a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10b a a b b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10aba b b a ② 由①得,11⎩⎨⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2. 例2 已知集合A ={}510|≤+<ax x ，集合B =.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a =0，则A =R ;②若a ＜0，则A =;14|⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x ③若a ＞0，则A=,41|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-a x ax (1) 当a =0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图，则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->aa ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<，218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，若A ⊆B ，如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-aa ∴.22⎩⎨⎧≥≥a a ∴a ≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a ≥2.(2)当a =0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图，则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214aa ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-≥,218a a ∴-；021<<a 当a ＞0时，若B ⊆A ，如图， 则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-aa ∴,22⎩⎨⎧≤≤a a ∴0＜a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，-.221≤<a（3）当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A =B . 由（1）、（2）知，a =2. 例3（14分）设集合A {},023|2=+-=x xx B {}.0)5()1(2|22=-+++=a x a x x（1）若A B {},2=求实数a 的值；（2）若A B =A 求实数a 的取值范围；（3）若U =R ，A （U B ）=A .求实数a 的取值范围.解 由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={}.2,1（1）∵A B {},2=∴2∈B ，代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0,∴a =-1或a =-3; 2分当a =-1时，B ={}{},2,204|2-==-x x 满足条件； 当a =-3时，B ={}{},2044|2==+-x xx 满足条件；综上，a 的值为-1或-3. 4分 （2）对于集合B ，∆=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3). ∵A B =A ∴B ⊆A ,①当∆＜0,即a ＜-3时，B =∅，满足条件； ②当∆=0，即a =-3时，B ={}2，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B =A ={}2,1才能满足条件， 6分则由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=⨯+-=+521)1(2212a a 即,7252⎪⎩⎪⎨⎧=-=a a 矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3. 9分 （3）∵A （U B ）=A ，∴A ⊆U B ，∴AB=∅； 10分①若B =∅，则∆＜03-<⇒a 适合； ②若B ≠∅，则a =-3时，B ={}2，A B ={}2，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B .将2代入B 的方程得a =-1或a =-3（舍去）； 将1代入B 的方程得a 2+2a -2=0.31±-=⇒a∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1.3±13分综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+.3 14分例4 若集合A 1、A 2满足A 1 A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={}3,2,1的不同分拆种数是 .答案 27巩固练习1.设含有三个实数的集合可表示为{},2,,d a d a a ++也可表示为{},,,2aq aq a 其中a ,d ,q ∈R ,求常数q .解 依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0，q ≠0,q ≠1±.由两集合相等，有（1）⎩⎨⎧=+=+22,aq d a aq d a 或（2）⎩⎨⎧=+=+.2,2aq d a aq d a由（1）得a +2a （q -1）=aq 2,∵a ≠0, ∴q 2-2q +1=0,∴q =1(舍去). 由（2）得a +2a (q 2-1)=aq ,∵a ≠0,∴2q 2-q -1=0,∴q =1或q =-.21∵q ≠1, ∴q =-,21综上所述,q =-.21 2.（1）若集合P ={},06|2=-+x xx S {},01|=+=ax x 且S ⊆P ,求a 的可取值组成的集合；（2）若集合A ={},52|≤≤-x x B {},121|-≤≤+=m x m x 且B A ⊆，求由m 的可取值组成的集合.解 （1）P ={}.2,3-当a =0时，S =∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax +1=0的解为x =-,1a为满足S ⊆P ,可使31-=-a 或,21=-a 即a =31或a =-.21故所求集合为.21,31,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧- （2）当m +1＞2m -1，即m ＜2时，B =∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则,51221,121⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+m m m m 即⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥3,32m m m ∴2≤m ≤3. 综上所述，m 的取值范围为m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{}.3|≤m m3.已知集合A ={},R ,01)2(|2∈=+++x x a xx B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ，使得A B=∅？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解 方法一 假设存在实数a 满足条件A B=∅，则有 （1）当A ≠∅时，由A B ,∅=B={}0|>∈x x R ，知集合A 中的元素为非正数，设方程x 2+(2+a )x +1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得 （2）当A =∅时，则有△=(2+a )2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B =∅的实数a ,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a )x +1=0的两实数根x 1,x 2至少有一个为正， 因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得,0)2(04)2(212⎩⎨⎧>+-=+≥-+=∆a x x a 解得.4,240-≤⎩⎨⎧-<-≤≥a a a a 即或又∵集合{}4|-≤a a 的补集为{},4|->a a ∴存在满足条件A B =∅的实数a ,其取值范围是（-4，+∞）.4.(2007·陕西理，12) 设集合S ={}3210,,,A A A A ，在S 上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k,其中k 为i +j 被4除的余数，i ,j =0，1，2，3,则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 . 答案 2回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.(2008·江西理，2)定义集合运算：A *B ={}.B ,A ,|∈∈=y x xy z z 设A ={},2,1B {},2,0=则集合A *B的所有元素之和为 .答案 62.已知集合U ={0，1，3，5，7，9}，A ∩U B={1}，B ={3，5，7}，那么（U A ）∩（U B ）= . 答案 {0,9}3.设全集U =R ,集合M ={x |x ≤1或x ≥3},集合P ={}R ∈+<<k k x k x ,1|，且U MP ≠∅，则实数k 的取值范围是 . 答案 0＜k ＜34.集合A ={y ∈R |y =lg x ，x>1}，B ={-2，-1，1，2}，则（R A ）∩B = . 答案 {-2，-1}5已知集合P ={（x ，y ）||x |+|y |=1}，Q ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，则P 与Q 的关系为 . 答案 P Q6.（2009·徐州模拟）设A ，B 是非空集合，定义A ×B ={}B A x B A x x ∉∈且|，已知A ={}22|x x y x -=，B ={}0,2|>=x y y x，则A ×B = .答案[]),2(1,0+∞7.集合A ={x ||x -3|<a ，a >0}，B ={x |x 2-3x +2<0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 . 答案 ［2，+∞）8.(2008·福建理，16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b 、ab 、ba∈P （除数b ≠0）,则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q }也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案 ③④ 二、解答题9.已知集合A ={x |mx 2-2x +3=0，m ∈R }. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.解 集合A 是方程mx 2-2x +3=0在实数范围内的解集. （1）∵A 是空集，∴方程mx 2-2x +3=0无解.∴Δ=4-12m <0,即m >31.（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2-2x +3=0只有一个解. 若m =0，方程为-2x +3=0，只有一解x =23;若m ≠0，则Δ=0，即4-12m =0,m =31.∴m =0或m =31.(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m =0或m ≥31. 10.（1）已知A ={a +2，（a +1）2，a 2+3a +3}且1∈A ，求实数a 的值；（2）已知M ={2，a ，b }，N ={2a ，2，b 2}且M =N ，求a ，b 的值.解（1）由题意知：a +2=1或（a +1）2=1或a 2+3a +3=1，∴a =-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a =0即为所求.（2）由题意知,,214100102222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==b a b a b a a b b a b b a a 或或或 根据元素的互异性得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==214110b a b a 或即为所求. 11.已知集合A =,,116|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+R x x x B ={},02|2<--m x x x （1）当m =3时，求A （R B ）； （2）若A B {}41|<<-=x x ，求实数m 的值.解 由,116≥+x 得.015≤+-x x ∴-1＜x ≤5,∴A ={}51|≤<-x x . （1）当m =3时，B ={}31|<<-x x ，则RB ={}31|≥-≤x x x 或，∴A （R B ）={}53|≤≤x x .(2)∵A ={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ∴有42-2×4-m =0,解得m =8.此时B ={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8.12.设集合A ={（x ,y ）|y =2x -1,x ∈N *},B ={(x ,y )|y =ax 2-ax +a ,x ∈N *}，问是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.解 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎨⎧+-=-=aax ax y x y 212有正整数解，消去y ,得ax 2-(a +2)x +a +1=0.（*）由Δ≥0，有（a +2）2-4a (a +1)≥0,解得-332332≤≤a .因a 为非零整数，∴a =±1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠ ,此时A∩B={（1，1），（2，3）}。