变式: 若(2x＋
)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(A )
A．1
B．－1
C．0
D．2
【规律小结】
对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数
(2)原式 C50 (x 1)5C51(x 1)4C52 (x 1)3 C53(x 1)2C54(x 1)C55 C55
[(x 1) 1]5 1
x5 1
3．若(
)n的展开式中各项系数之和
为64，
A
则 展开式的常数项为( )
A．－540 B．－162 C．162
式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且 n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式 所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来 求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
C．7
D．6
2.计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
（1）原式 Cn01n Cn11n1g2 Cn21n2 g22 L Cnn 2n
(1 2)n 3n
例1 已知在 项。
(3 x 1 )n的展开式中，第6项为常数 23 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
变式 求 x 3 x 9展开式中的有理项
【规律小结】 (1)对求指定项、常数项问题，常用 待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通 项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给 出的条件(特定项)，列出关于r的方程(求解时要注意二项
同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计 算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二 项式系数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，
3，…，n个元素的组合数，即
Cn0
,
C
1 n
,

,
C
n n
.
（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的
指数和为n。
2.通项公式
项，用
式中C的nr
anrbr
表示。即
叫做二项展开式的Tr通1
Tr1 Cnranrbr 第 r 1 项
D．540
4．(2010·上海春)在 式中，常数项是________．
答案：60
的二项展开
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知
道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为
解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
数相等，即C nr

C nr n
（2）增减性即最大值
f
(r
)

C
r n
在[0,
n 2
]上是增函数
;
在[
n 2
,
n]上是减函数。Βιβλιοθήκη 当n为偶数时，f (r)max

f
(
n 2
)
n

C2 n
当n为奇数时，f (r)max （3）二项式系数和为
f ( n21)
n 1
f
(
n21)

C2 n
n 1
例2 已知（3 x x2 )2n
的展开式的二项（式3系x 数1)n
和比
（2x 1 )2n
的展开式的二项式系数和大992，求 x
的展开(1式)二中项：式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知( 数与第
)n(n∈N*)的展开式中第五项的系
三项的系数的比是10∶1，
(1)证明：展开式中没有常数项；
注意：
（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
有r个因式（取3）b，要余得下C到nnr a-rn个rb因r 式取a。 即在(a+b)n中，
3.二项式系数与某项系数的区别：
式系数和二二项项式式中系a,数Cb系是nr 数及常数，展某出项部的分系。数包括二项
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系
Cn2
C
0 n

C
1 n

C
2 n


C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数 和等于2n-1,即
C
0 n
Cn2

C
4 n


Cn1

C
3 n

C n5

2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)a4＝4的a值0＋为a1(x＋B a2)x2＋a3x3＋a4x4，
A．9
B．8
(2)求展开式中含
的项；
(3)求展开式中所有的有理项；
(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
SUCCESS
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2020/3/2
【规律小结】 课堂互动讲练
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C
r n
(r

0,1,2,
, n)
次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式
中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
考点三 二项式定理的灵活应用
例4