教师: 定理的推导方法
问题: 设f(x)=(x+b)n,你能想到什么?
x b
n
0 n 1 2 2 n- 2 n -1 n -1 n n b x Cn b Cn x Cn bx n-1 C n b x C n
f (x ) C x C bx
0 n n 1 n
n -1
变式：求(a b c d )
200 800 900 95
1995
展开式中
a b c d 项的系数
例3、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
（1）、 a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2）、 a1+a3+ a5的值 （3）、 |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习:
若(2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x , 则
4 2 3 4
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______
例4、在( x 2 y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
二项式定理
(改进版本)
知识点回顾：
问题: 由二项式定理,你能想到什么?
a b
n
0 n 1 n -1 2 n- 2 2 n -1 n n ab n -1 C n b Cn a Cn a b Cn a b Cn
学生思考可得: r n-r r 二项式展开的通项：Tr 1 C n a b 第r+1项
C b x
2 2 n
n-2
n -1 n -1 n n C b x C n nb
可得:项的系数与二项式系数 函数的两种表示
教师小结:
n -1 n n ab n -1 C n b a bn C n0 a n C n1 a n-1b C n2 a n-2 b 2 C n
变式：已知 (x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 ,求a2.
例4
.(全国二7)
(1 x )6 (1 x )4 的展开式中的x系数是

-3
变式：求(a b c d )1995 展开式中 a 200 b800 c 900 d 95项的系数
小结：
揭示本质，运用二项式定理证明方法，解决问题
例5、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
（1）、 a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2）、 a1+a3+ a5的值 （3）、 |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
等式反映“全局”,是恒等 r n-r r 式 T C a b 通项：
r 1 n
通项表示“局部” 推导方法 体现定理“本质”
n n -1 n -1 n n 0 n 1 2 2 n- 2 f (x) x b C n x Cn bx n-1 C n b x Cn b x Cn b
2 10 例1.求( x ) 的展开式中第四项的二项式系数 x 和第四项的系数.
分析：第 r+1 项的二项式系数 --- c 第 r+1 项的系数- 具体数值的积。
r n
2 3 解： 因为T4 T31 (1) c ( x ) ( ) , x 3 所以第四项的二项式系 数是c10 120.
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项。
小 结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3 3 10 7
第四项的系数是- c 8 960.
3 10
例2、求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展 开式中含 x 2 项的系数
分析： 分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量
二项式定理
知识点回顾：
1.二项式定理： n 0 n 1 n -1 2 n- 2 2 a b C n a C n a b C n a b n -1 n -1 n n C n ab C n b
2.二项式展开的通项：
Tr 1 C a b 第r+1项
r n-r r n
例3、求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展 开式中含 x 2 项的系数
分析：所求仅涉及1项，看成“局部”问题
小结： 1）所求项源于4个二项式，故分4次用通项，再加减。
2）原式展开后是什么形式
(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
3.二项式系数的性质：
1. C C k -1 2. C C Cn
k n k n 1 n -k n k n
3. C C C C 2 1 n -1 C C Cn C 2
0 n 0 n 1 n 2 n 2 n n n 3 n n
4.
二项式系数最大项是展开式的中间一项(n为 偶数时)或中间两项(n为奇数时).
关系展示“一类特殊的多项式函数”
问题：证明二项式系数的性质：
C C C C 2 1 3 n -1 C C Cn Cn 2
0 n 0 n 1 n 2 n 2 n n n n
小结：“全局”性问题，用定理（等式）证明 要点，消去x且保留二项式系数 二项式系数最大项是展开式的中间一项(n为偶 数时)或中间两项(n为奇数时).
小结：涉及“全局”，利用等式的恒成立
变式:求a3.
例6、在(x – 2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项。
小结：涉及“局部”，利用通项公式 三类“最大”求法的比较。
小 结 对二项式定理，你有什么新的认识？
1.二项式定理涉及的概念：展开式的指数、项数、 二项式系数、项的系数等 概念集中在定理中 2.三个重点：二项式定理，通项公式，定理证明 方法。 涉及全局，涉及局部，涉及本质 3.四类基本问题： 求常数项、有理项，系数最大项，某项系数，某 项项序（局部） 组合数恒等式，展示式系数和（绝对值和）等计 算，定理逆用（全局） 二项式积（和）（本质） n未知型（转化）
2 10 例1.求( x ) 的展开式中第四项的二项式系数 x 和第四项的系数.
2 1 例2（08年北京卷11）若 x 3 展开式的各项系数之和为32，则n x
n
= 5
，其展开式中的常数项为 10 ．（用数字作答）
“局部”问题，不必展开，请“代表”（通项公式） 两种“局部”问题： n已知型(直接用通项） n未知型(必有条件先求n,再用通项）