北京邮电大学高等函授、远程教育04—05学年春季学期《高等数学(微积分)》综合练习题与答案经济管理、电子邮政专业 第一部分 练习题一、判断题1. 设)(x f 的定义域为)1,(-∞，则)11(2xf -的定义域为（0，1）. 2. 设)(x f 的值域为)1,(-∞,则)(x arctgf 的值域为)4,2(ππ-. 3. 2)1(--x e是偶函数.4. xxy +-=11ln是奇函数. 5. e x xx =+∞→1)1(lim6. 设)(u f 是可导函数，则2sin 22)(cos 2)(sin x u u f x x x f dxd='=. 7. 设函数)(xe f y -=可微,则dx e f e dy x x )(--=.8. 设dx xx df 211)(+=,则arctgx x f ='')(. 9. ⎰=)()()()(x df x f x df x f dxd. 10. ⎰+'=''c x f dx x f )()(.11.0sin 2112=+⎰-dx x tgx.12. 如果1102=+⎰+∞dx x A ,则常数π2=A .13. 如果级数∑∞=1n nu发散,则0lim ≠∞→n n u .14. 级数)0(1>∑∞=x xn n收敛的充分必要条件是1<x .15. 级数∑∞=11n p n 收敛的充分必要条件是1>p . 16. 如果1)43(1=∑∞=n n a ,则常数41=a . 17.0),(),(0x x y y x x y x f y x f x==='=∂∂.18. 设xyx z =,则1-=∂∂xy xyx xz. 19.)()](,[x y f f x y x f dxdy x ''+'=. 20. 设v u f 、、都是可微函数,则xvf x u f y x v y x u f x v u ∂∂'+∂∂'=∂∂)],(),,([.二、单项选择题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 则)(x f 的定义域为___________.A.),(+∞-∞B.)2,2[-C.]2,(-∞D.]2,2[- 2. 设)(x f 的定义域为),0,(-∞则函数)(ln x f 的定义域是_______. A.),0(+∞ B.]1,0( C.),1(+∞ D.(0,1) 3. 设)1()1(-=-x x x f ,则)(x f =_________.A.)1(-x xB.)1(+x xC.)2)(1(--x xD.2x 4. 下列函数中,奇函数为____________. A.)sin(cos x B.)1ln(2++x x C.xx tgx -+11lnD.xe sin 5. =+∞→1sin limn nn _____________.A.0B.1C.1-D.∞6. 当0x x →时,α和β都是无穷小,下列变量中,当0x x →时可能不是无穷小的是___________.A.βα+B.βα-C.αβD.)0(≠ββα7. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续,则=k _________.A.0B.1C.2D.1- 8. 设)(x f 在点0x 可导,则=--+→hh x f h x f h 2)()(lim000___________.A.)(0x f 'B. )(0x f '-C. )(20x f 'D. )(20x f '- 9. 设)(u f 可导,则=)(sin 2x f dxd____________. A.)(sin sin 22x f x ' B.)(sin cos 22x f x 'C. )(sin 2sin 2x f x 'D. )(sin cos sin 2x f x x '10. 已知3)0(,0)0(='=f f ,则=→xx f x )2(lim 0___________.A.3B.3-C.6-D.611. ___________满足罗尔定理的条件.A.2)(x x f =在]3,0[上 B.21)(xx f =在]1,1[-上 C.x x x f -=3)( 在]3,0[上 D.x x f =)(在]1,1[-上 12. =)(x f ________是2sin x x 的一个原函数.A.2cos 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x - 13. 设)(x f 在],[b a 上连续,),(0b a x ∈且是常数,则=⎰0)(x adt t f dx d _________.A.)(0x fB.0C.)()(0a f x f -D.)(0x f ' 14.=⎰-883dx e x ________.A.0B. ⎰8032dx exC.⎰-22dx e xD.⎰-2223dx e x x15. 设1012=+⎰+∞∞-dx x A,则=A ___________.A.π10B.10π C.π10 D.π10- 16. 如果0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=1n nu___________.A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛 17. 如果级数∑∞=-111n p n收敛,则p 应满足___________.A.2>pB.1>pC.0>pD.0<p 18. 设常数0>k ，则级数∑∞=--112)1(n nn k___________. A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与k 有关19. 设y x z +=12,则=∂∂yz__________. A.y x +12 B.22)1(y x +- C.221y x +- D.22)1(y x + 20. 二次积分交换积分顺序后=⎰⎰yydx y x f dy ),(1____________.A. ⎰⎰102),(x xdy y x f dx B.⎰⎰12),(xxdy y x f dxC.⎰⎰21),(x xdy y x f dx D.⎰⎰21),(xxdy y x f dx三、填空题1. 函数xxy -+=11ln的定义域是_______________________________.2. 设⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,3)(x x x x x f ⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x g x 则=)]1([g f ___________,当1>x 时, )]([x g f 的表达式为____________________.3. 函数1--=x y 的反函数为_____________________.4. 设函数)(x f 满足x x f =)(log 2, 则)(x f =_________________.5. 设xxx f +-=11)(, 则=)]([x f f __________________________. 6. 函数x y 2cos1π+=的最小正周期是_______________.7. 设xe xf =)(且0>x ,则=-)ln (x f __________________.8. 设函数)(x f 在0=x 处连续,且0≠x 时,xx x f 1)21()(-=,则=)0(f __________. 9. 设1)0(='f ，则=-→xf x f x )0()2(lim_______________.10. 曲线x x y ln 2-=在点(1,1)处的切线方程为_______________________. 11. 设)(x f 可导且2)1(='f , 则==1)(x x f dxd_______________.12. 设1)(+=x xx f ，则=)(x df _______________________. 13. 设x x f dxd=)(ln , 则='')(x f ______________________. 14. 设)1(1)(22x d xx x df +=, 则=)(x f _________________, =')(x f ____________, ='')(x f ___________________________.15. 设)(x f 的一个原函数为x ln , 则=')(x f ________________. 16. 设c xdx x f ++=⎰211)(, 则)(x f =_____________________. 17.=''⎰dx x f x )(_________________________________________.18. ⎰=)(x xdf d ______________dx . 19. 设)(x f 是连续函数, 若⎰=+xcdt t f x )(4053, 则=)(x f __________,=c _____.20. =⎰ax dt t f dx d )(_______________________.21. =⎰xdt t xf dxd 0)(_________________________________. 22. 设112=⎰adx x , 则=a ______________________.23.='⎰xdt t f t 02)(______________________________.24. 设)(x f 在[0,1]上连续, 则积分⎰1)(dt at f 经变换)0(≠=a at u 后为___________________________________. 25. 设)(x f 在],[l l -上连续,且为奇函数,2)(0=⎰ldx x f , 则=⎰-0)(ldx x f __________.26. 在],[b a 上, 函数)(x f 连续且0)(≤x f , 则由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积S 的积分表达式为__________________________________.当b a =时, S=_______________.27. 如果级数∑∞=1)31(n n a 的和为1, 则=a ___________________. 28. 设xxy z )(=, 则=∂∂xz__________________. 29. 设22y x x z +=, 则=∂∂xz__________________.30. 交换积分顺序后, =⎰⎰102),(yy dx y x f dy _______________________________.四、计算题1. 求下列各极限(1)22011limxx x +-→ (2)22312lim4---+→x x x(3))11(lim 22+--+++∞→x x x x x (4)11lim 31--→x x x(5)x x x )21(lim -∞→ (6)xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim (7)]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→ (8)x x x 220sin arcsin lim →(9)设⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+=0,30,sin 11)(x a x x x x x f 且)(lim 0x f x →存在,求常数a 的值.(10)30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→ (11))1(log 22lim 20x xx x +--→(12)xctgx x ln ln lim 0+→ (13)x x x cos 1)1ln(lim 20-+→(14)20)1(lim tgx e x x x -→ (15))sin 11(lim 0x x x -→(16)xtdt xx ⎰→02sin lim(17)3sin lim2xx dt e xt x -⎰→(18))12753(lim 2222nn n n n n +++++∞→ 2. 求导数或微分(1) 设212sin xxy +=,求y '. (2) 设)1ln(2x x y ++=,求y '. (3) 设x x xarctg y ln 1+=,求y ''. (4) 设)(2)(x fe x =ϕ,且)(1)(x f x f =',证明:)(2)(x x ϕϕ='. (5) 设1)sin(=-y xy ,求dy . (6) 设133=-+y y x ，求y '.(7) 设y y x -=+3)ln(2,求dy . (8) 设yxe y +=1,求y y x '''=,0.(9) 设xx y )(ln =,求y ' (10) 设x xxx y sin +=,求y '.(11) 设)ln(22a x x xa y x +++=,1,0(≠>a a 且为常数),求0='x y .(12) 设x xy n ln )2(=-,求n n dxy d . (13) 求⎰-12x t dt e dxd (14) 设⎰+=2211)(x x dt tx p ,求)(x p '.(15) 设)sin(x ye z x+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (16) 设xy xe z =,求yzx z ∂∂∂∂,. (17) 设y x ez xy2+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (18) 设zyz x ln =,求y z x z ∂∂∂∂,.3. 计算下列各积分 (1)⎰+dx x x x sin cos 2cos (2)⎰-dx x sin 11(3)⎰+dx x x ln 11 (4)⎰+++dx xarctgxx 211 (5)⎰-dx x x2211 (6)⎰xdx x ln 2(7)⎰xdx x ln (8)⎰xdx x 2cos(9)⎰xdx x 2sin (10)⎰xdx arcsin(11)⎰dx x sin (12)⎰+101dx e e xx(13)⎰++4122dx x x (14)⎰-312dx x(15)设⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x求⎰-21)(dx x f(16)⎰-4sin ππdx x (17)⎰''tdx x f x 0)((18)⎰+∞-02dx e x x(19)D ydxdy x D,2⎰⎰是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域. (20)⎰⎰++Ddxdy yx2211,其中1:22≤+y x D .五、判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛 1.∑∞=+131n n n2.∑∞=+1)1(1n n n 3.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n n n n 4.∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-1sin 321n nn n n 5.∑∞=1!n n n n 6.∑∞=--111)1(n n n 7.∑∞=+-1)!12()1(n n n 8.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n9.∑∞=+131cos n n n 10.∑∞=-121)1(n nn 六、应用题1. 设曲线x x y ln 2+=上的点),(00y x M 处的切线平行于直线x y 4=,求点M 的坐标.2. 讨论函数2332x x y -=的单调性与极值. 3. 求函数x xee y -+=2的极值.4. 求由曲线0,1,3===x y x y 所围成的平面图形的面积(要画图).5. 求由曲线2,1,4===x xy x y 及x 轴所围平面图形的面积(要画图).6. 求由曲线212xy +=与2x y =所围平面图形的面积. 七、证明题1. 已知)(2)(x fa x =ϕ且ax f x f ln )(1)(=',证明:)(2)(x x ϕϕ='2. 证明:⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.第二部分 答案一、判断题1. ×2. √3. ×4. √5.×6. √7. ×8. ×9. × 10.√ 11. √ 12. √ 13. × 14. √ 15. √ 16. × 17. √ 18. × 19. √ 20. √ 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.A 18.B 19.B 20.B 三、填空题1.)1,1(-2. 1, x ln ln3.0,12≤+=x x y 4. x 2 5. x 6. 47.x1 8. 2-e 9.2 10. x y =11. 1 12.dx x x x 2)1(21+- 13. xe22 14. 222)1(2,11,x xxc arctgx ++-+- 15.21x - 16. 22)1(2x x +-17. c x f x f x +-')()( 18. )(x f x ' 19. 2,152-x 20. )(x f -21. )()(0x xf dt t f x+⎰22. 32-23.)]0()([212f x f - 24. ⎰adu u f a)(125. 2- 26. ⎰-b adx x f )(, 027. 2 28. )]ln(1[)(xy xy x+29. 22222)(y x x y +- 30. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(1四、计算题 1.求下列极限(1) –2 ， (2) ， (3) 1 ， (4) 3 ， (5) 2e -， (6) 2e ， (7) 1 ， (8) 1 ，(9)12 ， （10）16， （11） 22(ln 2)， （12） 1- ， （13）2 ， （14）1 ， （15）0 ， （16） 1 ，(17)12， (18) 12.求导数或微分（1）222)1(2sin 22cos )1(2x xx x x y +-+=' ， （2）y '= ，（3）y '21ln 112+++-=x x ， xx x y 21)1(222++='' ，（4）()x ϕ')(2x ϕ= ， （5）cos()1cos()y xy dy dx x xy =-（6）22313x y y '=- ， （7）221xdy dx x y -=++ ， （8）1yye y xe '=-， e y x ='∴=0 ， 23(2)(1)y y y xe e y xe -''=-（9）1(ln )[ln ln ]ln xy x x x'=+， (10) y ']sin ln [cos ]1[ln sin xx x x x x x xx +++=(11) 011x y a='==+ ，(12) 32ln ln n n d y xdx x x-= ，(13)21td dtdx -x e x 21-= ， (14) ()p x '=+ ， (15))1)(cos(++=∂∂x x ye x ye xz， )cos(x ye e y z x x +=∂∂ (16) x yx yx ye x y e x y e x z )1(-=-=∂∂ ， x ye yz=∂∂ (17)xy ye xzxy 2+=∂∂ ， 2x xe y z xy +=∂∂(18)x z F z z x F x z∂=-=∂-，)(2x z y z F F y z z y -=-=∂∂ 3.计算下列各积分(1) cos 2sin cos cos sin xdx x x c x x =+++⎰(2) 11sin dx x -⎰c xtgx ++=cos 1(3)c x ++=ln 12(4)211x arctgx dx x +++⎰c arctgx x arctgx ++++=22)(21)1ln(21(5)c x x +--=21 （6）2ln x xdx ⎰c x x x +-=3391ln 31 （7）xdx c x x x +-=232394ln 32（8）cos 2x xdx ⎰c x x x ++=2cos 412sin 21 （9）2sin x xdx ⎰c x x x x +--=2cos 812sin 41412(10) arcsin xdx ⎰c x x x +-+=21arcsin(11)⎰c x x x ++-=sin 2cos 2（12）10ln(1)ln 21xxe dx e e =+-+⎰ （13）4=⎰223（14）312x dx -⎰=1 (15)211()3f x dx e --=-⎰(16)⎰-4sin ππdx x 32=-(17) 0()txf x dx ''⎰=()()(0)tf t f t f '-+ (18) 20x x e dx +∞-⎰220=-=+∞-xe(19)2Dx ydxdy ⎰⎰92= (20)2211Ddxdy xy++⎰⎰2ln π=五、判断下列级数的收敛性, 若收敛, 指出绝对收敛还是条件收敛.1. 发散 ，2. 发散 ，3. 绝对收敛 ，4. 绝对收敛，5. 发散 ，6. 条件收敛，7. 绝对收敛 ，8. 条件收敛 ，9. 绝对收敛， 10.绝对收敛. 六、应用题1. M 点的坐标为 )2ln 1,21(-2. 在(－∞，0)，（1，+∞）内单调增，在（0，1）内单调减，有极大值0)0(=y ，极小值1)1(-=y .3. 1(ln 2)2y -=为极小值。