实验报告（二）姓名：陈耿涛学号：201030271709班级：信工五班日期：2012年4月23号实验（二）周期信号傅里叶分析及其MATLAB实现———特征函数在LTI系统傅里叶分析中的应用一、实验目的1、掌握特征函数在系统响应分析中的作用2、正确理解滤波的概念二、实验内容1、定义一个包含在区间0≤n≥10上的x[n]向量x2，并利用y2=filter(h,1,x2);计算在这个区间内的卷积结果，利用stem([0:10]，y2)画出这一结果，并确认与图2.2一致。

2、LTI系统的特征函数：现考虑下列各输入信号：x1[n]=e j(π/4)nx2[n]=sin⁡(πn8+π16)x3[n]=(9/10)nx4[n]=n+1当每个信号是由下面线性常系数差分方程：y[n]-0.25y[n-1]=x[n]+0.9x[n-1] （3.3）描述的因果LTI的输入时，要计算输出y1[n]—y4[n].（a）利用冒号（：）算符，创建一个包含在区间−20≤n≤100内时间序号的向量n,利用这个向量，定义x1,x2,x3和x4为包含这四个信号x1[n]—x4[n]在向量n 区间内的值。

（b）定义向量a和b用以表征由（3.3）式所表示的系统，用这两个向量和filter 计算当输入分别是x1—x4时，包含由（3.3）式表征的系统输出的向量y1,y2,y3和y4。

对于每个输出，在区间0≤n≤100上画出适当标注的图。

对于y1需要分别画出实部和虚部的图。

将输入和输出的图作比较，指出哪些输入时这个LTI系统的特征函数。

（c）要确认哪些输入时特征函数，并计算对这些特征函数相应的特征值。

利用向量H=y./x证明，它计算出在每个时间序号上输入和输出序列的比值。

对每个输入/输出信号对计算H1—H2，并在区间0≤n≤100内画出适当标注的H图。

3、有下列信号：x1[n]={1,0≤n≤7x2[n]={1,0≤n≤70,8≤n≤15x3[n]={1,0≤n≤70,8≤n≤31其中，x1[n],x2[n]和x3[n]的周期分别为N1=8,N2=16，N3=32.（d）定义表示x1[n],x2[n]和x3[n]每个信号一个周期内的值得3个向量x1,x2,x3.利用这3个向量画出在0≤n≤63范围内每个信号的图，并作适当标注。

（e）利用fft函数，定义向量a1,a2,a3分别是x1[n]—x3[n]的DTFS系数，利用abs和stem产生每个DTFS系数序列幅值的图，并作适当标注。

根据（d）中的时域图和式子ak=1N ∑x[n]e−jk(2π/N)nN−1n=0,应该能够预计a1(1),a2(1),a3(1)的值-----这三个信号的直流分量。

所预计的值与应用MATLAB所得结果相符吗？4、吉布斯现象：根据教材Example3.5验证Fig3.9的吉布斯现象(a)—(d)。

三、实验细节1、MATLAB程序x=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0];h=[0 1 2 3 4 5];y=filter(h,1,x);stem([0:10],y);xlabel('n');ylabel('x[n]*h[n+5]');图像：结论：所画图像与图2.2是一致的，说明用filter计算卷积是可行的。

2、（a）MATLAB程序：n=-20:100;x1=exp(j*pi*n/4);x2=sin(pi*n/8+pi/16);x3=(9/10).^n;x4=n+1;subplot(3,2,1);stem(n,real(x1));title('real[exp(j*pi*n/4)]');subplot(3,2,2);stem(n,imag(x1));title('imag[exp(j*pi*n/4)]'); subplot(3,2,3);stem(n,x2);title('sin(pi*n/8+pi/16)'); subplot(3,2,4);stem(n,x3);title('(9/10).^n');subplot(3,2,5);stem(n,x4);title('n+1');图像：（b）MATLAB程序：n=0:100;x1=exp(j*pi*n/4);x2=sin(pi*n/8+pi/16); x3=(9/10).^n;x4=n+1;a=[1 0.9];b=[1 -0.25];y1=filter(a,b,x1); subplot(5,2,1);stem([0:100],real(x1)); title('real(x1£©'); subplot(5,2,2);stem([0:100],real(y1)); title('real£¨y1£©'); subplot(5,2,3);stem([0:100],imag(x1)); title('iamg(x1)'); subplot(5,2,4);stem([0:100],imag(y1)); title('imag(y1)')y2=filter(a,b,x2); subplot(5,2,5);stem([0:100],x2);title('x2'); subplot(5,2,6); stem([0:100],y2); title('y2');y3=filter(a,b,x3); subplot(5,2,7); stem([0:100],x3); title('x3'); subplot(5,2,8); stem([0:100],y3); title('y3');y4=filter(a,b,x4); subplot(5,2,9); stem([0:100],x4); title('x4'); subplot(5,2,10); stem([0:100],y4); title('y4');图像：结论：信号X1和X3是这个LTI系统的特征函数。

（c）MATLAB程序：n=0:100;x1=exp(j*pi*n/4);x2=sin(pi*n/8+pi/16);x3=(9/10).^n;x4=n+1;a=[1 0.9];b=[1 -0.25];y1=filter(a,b,x1);h1=y1./x1;subplot(2,3,1);stem([0:100],real(h1)); title('real(y1./x1)'); subplot(2,3,2);stem([0:100],imag(h1)); title('imag(y1./x1)');y2=filter(a,b,x2);h2=y2./x2;subplot(2,3,3);stem([0:100],h2);title('y2./x2');y3=filter(a,b,x3); subplot(2,3,4);h3=y3./x3;stem([0:100],h3);title('y3./x3');y4=filter(a,b,x4); subplot(2,3,5);h4=y4./x4;stem([0:100],h4);title('y4./x4');图像：结论：x1的特征值为：1.74-j1.14 x3的特征值为：2.83、（d）MATLAB程序：n=0:63;x1=ones(1,64);x2=zeros(1,16);for i=1:8;x2(i)=1;endx3=zeros(1,32);for i=1:8;x3(i)=1;endsubplot(3,1,1); stem(n,x1);title('x1[n]'); subplot(3,1,2); stem(n,[x2 x2 x2 x2]); title('x2[n]'); subplot(3,1,3); stem(n,[x3 x3]);title('x3[n]');图像：（e）MATLAB程序：n=0:63;x1=ones(1,64);x2=zeros(1,16);for i=1:8;x2(i)=1;endx3=zeros(1,32);for i=1:8;x3(i)=1;endx2_1=[x2 x2 x2 x2];x3_1=[x3 x3];a1=(1/64)*fft(x1);a2=(1/64)*fft(x2_1);a3=(1/64)*fft(x3_1);a1m=abs(a1);a2m=abs(a2);a3m=abs(a3);subplot(3,1,1);stem(n,a1m);title('x1[n]的DTFS系数幅值'); subplot(3,1,2);stem(n,a2m);title('x2[n]的DTFS系数幅值');subplot(3,1,3);stem(n,a3m);title('x3[n]的DTFS系数幅值');图像：结论：所预计的值与应用MATLAB所得的结果是一致的。

4、MATLAB程序：x=[1 1 1 1 1 zeros(1,100)];ak=(1/105)*fft(x);bk=ak(1,1:20);ck=ak(1,1:40);dk=ak(1,1:60);ek=ak(1,1:80);fk=ak(1,1:105);x2=20*ifft(bk);x3=40*ifft(ck);x4=60*ifft(dk);x5=80*ifft(ek);x6=105*ifft(fk);subplot(611),stem([1:105],x); subplot(612),stem([1:20],x2); subplot(613),stem([1:40],x3); subplot(614),stem([1:60],x4); subplot(615),stem([1:80],x5); subplot(616),stem([1:105],x6); 图像：四、实验感想每次实验都有新的收获，在独立完成的过程中总能找到完成任务的快乐感，喜欢这种感觉，继续努力吧。