2019-2020学年湖北省恩施州巴东县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.一元二次方程x2=0的解是()A. x=0B. 无实数根C. 1D. x1=x2=02.已知二次函数y=−12x2，下列说法正确的是()A. 该抛物线的开口向上B. 顶点坐标是(0,0)C. 对称轴是x=−12D. 当x<0时，y随x的增大而减小3.下列图形中，是中心对称图形，而不是轴对称图形的是()A. 菱形B. 平行四边形C. 正六边形D. 矩形4.正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为()A. 1B. 2C. 3D. 65.下列事件中，是必然事件的是()A. 射击运动员射击一次命中10环B. 任意一个三角形的内角和360°C. 掷一次骰子，向上一面的点数为6D. 水加热到100℃时，水沸腾6.点A(2,−3)关于原点对称的点的坐标是()A. (−2,3)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (−2,−3)7.抛物线y=−x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 48.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为()A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°9.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，估计鱼塘中鱼的条数约为()A. bn条B. an条C. bna 条 D. anb条10.某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为()A. 9B. 10C. 19D. 811.如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为()A. y=x(10−x)B. y=12x(10−x) C. y=12x(10+x) D. y=12(10−x)212.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数有()①abc>0；②b2−4ac>0；③若点(−0.5,y1)，(−2,y2)均在抛物线上，则y1>y2．A. 1B. 2C. 3D. 0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知下列抛物线：①y=x2，②y=−2x2+1，③y=94x2+2x−1，则开口最小的抛物线是______(填写序号)．14.一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球，在每一个小球上书写一个汉字，这些汉字组成一句话：“知之为知之，不知为不知，是知也”.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次取出的小球都是“知”的概率是______．15.用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是______．16.在△ABC中，∠A=60o，∠ABC=45°，AB=4，点D为AC上一动点，以BD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，则EF的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.解方程．(1)用配方法解下列一元二次方程．x2−x−34=0．(2)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．18.如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC=2∠1．(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)当∠1=30°，AB=4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积．19.把分别标有数字1，2，3，4的四个小球放入A袋内，把分别标有数字−1，−2，−2，−3，5的五个小球放入B袋内，所有的小球除了标有的数字不同外，其余完全相同．(1)学生甲从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为相反数的概率．(2)当B袋中标有5的小球的数字变为______时，(1)中的概率为1．420.如图所示，在每一个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点都在格点上．(1)请画出△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90o后的图形△AB′C′．(2)仅用直尺，过点A作出(1)中B′C′的垂线．说明基本画图的步骤，不要求证明(可根据需要补充网格)．21.(1)求证：无论p为何值，方程(x−2)(x−3)−p2=0总有两个不相等的实数根．(2)若方程(x−2)(x−3)−p2=0的两根为正整数，试求p的值．22.已知AB为⊙O的直径．(1)如图a，点D为AC⏜的中点，当弦BD=AC时，求∠A．(2)如图b，点D为AC⏜的中点，当AB=6，点E为BD的中点时，求OE的长．(3)如图c，点D为AC⏜上任意一点(不与A、C重合)，若点C为AB⏜的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．23.以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：米)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系ℎ=20t−5t2．(1)请在给出的坐标系中画出函数图象．(2)观察图象，求出小球的飞行高度不低于15m的时间范围及小球飞行的最大高度．x2+bx+c经过点A(4,0)、C(0,2)，与x轴的另一个交24.如图a，已知抛物线y=−12点为B．(1)求出抛物线的解析式．(2)如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．(3)如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵x2=0，∴x1=x2=0，故选：D．根据直接开方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2.【答案】B<0，∴开口向下，故错误，不符合题意；【解析】解：A、∵a=−12B、顶点坐标是(0,0)，正确，符合题意；C、对称轴为直线x=0，故错误，不符合题意；<0，∴开口向下，当x<0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题D、∵a=−12意，故选：B．由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出顶点坐标、最值及增减性是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项错误．故选：B．根据多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，理解定义是关键．4.【答案】A【解析】解：∵正六边形的周长是6，=1．∴其边长=66∵正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，∴它的外接圆半径是1．故选：A．根据正六边形的周长是6求出其边长，再根据等边三角形的性质即可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：A.射击运动员射击一次命中10环，是随机事件，故本选项不符合题意．B、画一个三角形，其内角和是180°，这任意一个三角形的内角和360°是不可能事件，故本选项不符合题意．C、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故本选项不符合题意．D、水加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，故本选项符合题意．故选：D．必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．本题考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.【答案】A【解析】解：点A(2,−3)关于原点对称的点的坐标是(−2,3)，故选：A．根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．7.【答案】D【解析】解：当y=0时，−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，所以抛物线与x轴的两交点的坐标为(−1,0)，(3,0)，所以抛物线y=−x2+2x+3与x轴的两交点间的距离为3−(−1)=4．故选：D．通过解方程−x2+2x+3=0得抛物线与x轴的两交点的坐标，从而得到两交点间的距离．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．8.【答案】B【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，=2πr=πR，设圆心角为n，有nπR180∴n=180°．故选：B．根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．此题考查了用样本估计总体，运用了样本估计总体的思想，解题的关键是求出样本中带标记的鱼所占的比例．【解答】解：打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，则有标记的鱼占b，a共有n条鱼做上标记，鱼塘中估计有：n÷ba =nab(条)．故选D．10.【答案】B【解析】解：根据题意得：100(1−x%)2=81，解之，得x1=190(舍去)，x2=10．即平均每次降价率是10%．故选：B．设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是100(1−x)，第二次后的价格是100(1−x)2，据此即可列方程求解．本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．11.【答案】B【解析】解：如图，记AC、BD交点为P，∵AC+BD=10，AC=x，∴BD=10−x，∵AC⊥BD，∴y=S△ACD+S△ABC=12AC⋅PD+12AC⋅PB=12AC⋅(PD+PB)=12AC⋅BD=12x(10−x)，即y=12x(10−x)，故选：B．记AC、BD交点为P，由AC+BD=10，AC=x知BD=10−x，根据y=S△ACD+S△ABC=1 2AC⋅PD+12AC⋅PB=12AC⋅(PD+PB)=12AC⋅BD求解可得．本题主要考查函数关系式，解题的关键是结合图形及垂直的条件得出y=S△ACD+S△ABC=12AC⋅PD+12AC⋅PB=12AC⋅(PD+PB)=12AC⋅BD．12.【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，轴对称是直线x=−1，∴a>0，c<0，−b2a=−1，解得：b=−2a<0，即abc>0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；点(−2,y2)关于直线x=−1对称的点的坐标是(0,y2)，∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=−1，∴当x>−1时，y随x的增大而增大，又∵−0.5<0，∴y1<y2，故③错误；即正确的个数是2，故选：B．根据抛物线的图象求出a>0，c<0，−b2a=−1，求出b<0，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点即可判断②；根据二次函数饿性质即可判断③．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．13.【答案】③【解析】解：∵|1|<|−2|<|94|，∴开口最小的抛物线是③，故答案为：③．根据|a|越大函数图象开口越小和|a|越小，函数图象开口越大可以解答本题．本题考查二次函数的性质，|a|越大函数图象开口越小和|a|越小，函数图象开口越大是解答本题的关键．14.【答案】25169【解析】解：随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共有13×13=169种等可能的结果数，其中两次取出的小球都是“知”的结果数为5×5=25，．所以两次取出的小球都是“知”的概率=25169．故答案为25169利用画树状图的方法可得到共有13×13=169种等可能的结果数，找出两次取出的小球都是“知”的结果数，然后根据概率公式计算即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．15.【答案】6m，4mm，【解析】解：设矩形的长为xm，则宽为20−2x2=24，依题意，得：x⋅20−2x2整理，得：x2−10x+24=0，解得：x1=6，x2=4．∵x≥20−2x，2∴x≥5，=4．∴x=6，20−2x2故答案为：6m，4m．m，根据围成的矩形的面积为24m2，即可得出关于x的设矩形的长为xm，则宽为20−2x2一元二次方程，解之即可得出x的值，由矩形的长不小于宽可确定x的值，再将其代入20−2x中即可求出结论．2本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】√6【解析】解：连接OF、OE，由圆周角定理得，∠FOE=2∠ABC=90°，∴EF=√2OF，当BD 最小时，OF 最小，即EF 最小，当BD ⊥AC 时，BD 最小，此时，BD =AB ⋅sinA =2√3， ∴OF =√3，∴EF 的最小值是√2×√3=√6，故答案为：√6．连接OF 、OE ，根据圆周角定理求出∠FOE ，根据等腰直角三角形的性质得到EF =√2OF ，根据垂线段最短得到BD ⊥AC 时，BD 最小，解直角三角形求出BD ，得到答案．本题考查的是圆周角定理、勾股定理、垂线段最短，掌握圆周角定理、根据垂线段最短求出BD 的最小值是解题的关键．17.【答案】(1)解：x 2−x −34=0．方程两边同×4得：4x 2−4x −3=0，移项得：4x 2−4x =3，配方得：(2x −1)2=4，∴2x −1=±2，∴x 1=32，x 2=−12．(2)解：设其中一个数为x ，则另一个数为(8−x)，依题意，得：x(8−x)=9.75，整理，得：x 2−8x +9.75=0，解得：x 1=1.5，x 2=6.5，∴8−x =6.5或1.5．答：这两个数分别为1.5和6.5．【解析】(1)利用配方法解该一元二次方程，即可得出结论；(2)设其中一个数为x ，则另一个数为(8−x)，根据两个数之积为9.75，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：(1)熟练掌握配方法解一元二次方程的方法及步骤；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18.【答案】(1)证明：连结OC ，在圆O 中，OA =OC ，∴∠BOC=2∠1=∠APC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠APC+∠AOC=180°，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90° 又四边形内角和为360°，∴∠OCP=90°，OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线；(2)解：PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线．∴PA=PC，∵∠1=30°，∠APC=2∠1，∴∠APC=60°，∴△APC为等边三角形，连结OP，OC，∵S四边形AOCP =2×12×2×2=4，S扇形AOC=×π×4=π，∴S阴影部分的面积=4−π． 【解析】(1)连结OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠1=∠APC，∠BOC+∠AOC= 180°，根据切线的性质得到∠OAP=90° 根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据切线的性质得到PA=PC，根据圆周角定理得到∠APC=60°，推出△APC为等边三角形，连结OP，OC，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】−1或−2或−3或−4【解析】解：(1)列表如下：(表中打√的表示摸出的两球上的数字互为相反数)共有20种等可能的结果数，其中两个数互为相反数的情况有4种，所以摸出两个小球上的数字互为相反数的概率=420=15；(2)当B袋中标有5的小球的数字变为−1或−2或−3或−4时时，(1)中的概率为14．故答案为−1或−2或−3或−4．(1)通过列表展示所有20种等可能的结果数，找出两个数互为相反数的结果数，然后根据概率公式计算；(2)为了(1)中的概率为14，则要有5对相反数，则B袋中标有5的小球的数字可为−1或−2或−3或−4．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：(1)如图所示：△AB′C′即为△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90o后的图形；(2)方法一：如图所示：点D、E、M、N均为格点，作射线DE、MN，两射线相交于点G；连结GA，则直线GA为所求线段B′C′的垂线．方法二：如图所示：直线FG为所求线段B′C′的垂线．【解析】(1)根据旋转的性质画出△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90o后的图形△AB′C′即可；(2)根据垂线的性质即可过点A作出(1)中B′C′的垂线．本题考查了作图−应用与设计作图、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．21.【答案】(1)证明：把方程(x−2)(x−3)−p2=0化为一般形式得：x2−5x+6−p2= 0∵△=(−5)2−4×1×(6−p2)=4p2+1，而对于任意实数p，p2≥0，∴△=4p2+1>0∴无论p为何值，方程(x−2)(x−3)−p2=0总有两个不相等的实数根；(2)解：方程(x−2)(x−3)−p2=0化简得：x2−5x+6−p2=0设方程的两个实数根为a和b．则a+b=5，∵方程(x−2)(x−3)−p2=0的两根为正整数，∴当方程的两个实数根为1，4，此时ab=4；当方程的两个实数根为2，3；此时ab=6，∴当ab=4时，6−p2=4，解得：p=±√2；当ab=6时，6−p2=6，解得：p=0；综上所述，方程(x−2)(x−3)−p2=0的两根为正整数，则p的值为0或−√2或√2．【解析】(1)先把方程(x−2)(x−3)−p2=0化为一般形式得：x2−5x+6−p2=0，再计算判别式的值得△=4p2+1>0，然后根据判别式的意义得到结论；(2)方程(x−2)(x−3)−p2=0化简得x2−5x+6−p2=0，设方程的两个实数根为a 和b，利用根与系数的关系得到a+b=5，利用a、b为正整数得到ab=4或ab=6，从而得到6−p2=4或6−p2=6，然后分别解关于p的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．22.【答案】解：(1)如图1，连结OC，点D为AC⏜的中点，∴AD⏜=DC⏜═12AC⏜，∵弦BD=AC，∴AC⏜=DB⏜，∴CD⏜═12AC⏜=12DB⏜，即点C为DB⏜的中点．∴AD⏜=DC⏜═BC⏜∠A=12∠COB=12×13×180°=30°．(2)如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，AB为⊙O的直径，∴∠C=90o点D为AC⏜的中点，半径OD所在的直线为⊙O的对称轴，则点A的对应点为C，∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF=CF，在△DEF和△BEC中，{DE=BE∠DFE=∠C=90°∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC(AAS)，∴CE=EF，BC=DF，∵AO=BO，AF=CF，∴OF=12BC=12DF，又AB=6，∴OD=3∴OF=1，BC=DF=2．在Rt△ABC中，AB=6，BC=2，∴AC=√AB2−BC2=√62−22=4√2，∵点F为AC的中点，点E为FC的中点∴EF=√2，在Rt△OFE中，EF=√2，OF=1，∴OE=√OF2+EF2=√2+1=√3．(3)BD、AD、CD之间的关系为：BD−AD=√2CD，如图3，连接BC，OC，∵AB为⊙O的直径，点C为AB⏜的中点，∴∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，∴△DCF是等腰直角三角形，∴CD=CF,DF=√2CD，∵∠ACD=∠BCF=90°−∠ACF，又∵AC=BC，CD=CF∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴AD=BF，∵BD=BF+DF，∴BD=AD+√2CD，即BD−AD=√2CD．【解析】(1)连接OC，由BD=AC，证明AC⏜=DB⏜，可得C为DB⏜的中点，可证得∠A=12∠COB=30°；(2)连结OD，BC，证明△DEF≌△BEC，可得CE=EF，BC=DF，求出OD，OF的长，由勾股定理求得AC=4，求出EF的长，在Rt△OFE中，由勾股定理可求出答案；(3)连接BC，可证明∠BAC=∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，证明△ACD≌△BCF，根据BD=BF+DF可得出结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰直三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．23.【答案】解：(1)(2)当1≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m飞行的最大高度为：20m；【解析】(1)根据解析式作出函数的图象即可；(2)根据图象写出答案即可．本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b=32，c=2，故：抛物线的解析式为：y=−12x2+32x+2；(2)四边形BC′AC为矩形．抛物线y=−12x2+32x+2与x轴的另一个交点为：(−1,0)由勾股定理求得：BC=√5，AC=√20，又AB=5，由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，故∠BCA=90°；已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC=AC′，AC=BC′所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA=90°，∴四边形BC′AC为矩形；(3)存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D与点C关于函数对称轴对称，故：点D的坐标为(3,2)．【解析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)证明△ABC直角三角形，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC=AC′，AC=BC′，即可求解；(3)则点D与点C关于函数对称轴对称，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、三角形全等、图形的旋转等，题目难度不大．。