第四章 控制系统的频率特性分析 §1. 频率特性的基本概念 频率特性（频率响应） 控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。 稳态正弦响应 系统稳定状态时，输出量的振幅和相位随输入正弦信号的 频率变化的规律。
输入信号：
输出信号：
r t R0 sin t
c t R0 G j sin t
§2. 一阶系统的时间响应
一 一阶系统的数学模型
1 G s T s 1
§3. 二阶系统的时间响应
一 二阶系统的数学模型
G( s)
Y ( s) X (s)
n 2 2 s 2 n s n 2
1 二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入信号：
1 t 0 r (t ) 1 t 0 t 0 1 R(s) L 1 t s
零初始条件： 当 t = 0 时，
f t 0 f ' t 0 f n t 0
积分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则
t t t n L f t dt 0 0 0 F s 1 1 1 1 1 n 2 i n n f 0 n 1 f 0 n i 1 f 0 f 0 s s s s s F s n 1 n n i 1 f i 0 s i 1 s
无超调，无振荡。
2. ζ> 1 ，过阻尼情况 :
c t 1
2 1 1
2 2

1

e
2 1 n t



2 2 2 1 1

1

e
2 1 n t


t 0
无超调，无振荡。
二．基本环节的传递函数 典型的基本环节：

比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节 延时环节
G s K
G s 1 T s


G s T s
G s 1 T s 1


G s T s 1
n2 G s 2 s 2 n s n2
t 0 s
终值定理： 设函数 f (t) 及其一阶导数 f ' t 均为可拉氏变换的，则 f (t) 的终值为
lim f t lim s F s
t s 0
§3. 传递函数的概念及基本环节的传递函数
一．传递函数的概念 定义：当初始条件为零时，输出量 y(t) 的拉氏变换 Y(s) 与输入量 x(t) 的拉氏 变换 X(s) 之比。
arctan
频率特性：
V U
G j
G(jω)是一复数，可将其分解为实部和虚部，并在复平面s中用矢量表示， 如图。
G j U j V G j e
j
实频特性
虚频特性 幅频特性 相频特性
2
sin d t 2 arctan


振荡频率为阻尼自然频率ωd； 振幅为指数衰减，由系统参数ωn、ζ决定。 随着ζ的减小，调整时间 ts 变短，但振荡变严重。 一般阻尼比ζ= 0.4～0.8 。
（逆时针为正）
三角表示
s s cos j s sin s cos j sin
指数表示：
s r e j
二．拉氏变换概念
拉氏变换定义 ：
st L f t F s f t e dt 0
线性定理：
L k1 f1 t k2 f 2 t k1 L f1 t k2 L f 2 t k F1 s k2 F2 s
延迟定理：
as L f t a e F s
即
Gs
L yt Y s Lxt X s
Y s G s X s
Y s bm s m bm1 s m1 b1 s b0 G s X s an s n an1 s n1 a1 s a0
3. 0<ζ<1时 ，欠阻尼情况： 无阻尼自然频率 ωn 阻尼自然频率
d n 1 2
c(t ) 1 1
e n t e n t 1
1 2 cos d t sin d t 1 2
峰值时间 tp ：达到超调量的第一个峰值所需的时间。 最大超调量 Mp ：超出稳态值(一般为1)的最大偏离量 Mp ; 或σ% ：采用百分比表示：
p%
C t p C C
100%
调整时间 ts ：第一次达到并保持在允许误差范围(一般为稳态值的Δ=5%或 Δ=2%)内所需的时间。
二阶系统的传递函数
2 n G s 2 2 s 2 n s n
二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换
C (s) G s R(s)
n2 1 2 2 s 2 n s n s
1. ζ=1 ，临界阻尼情况：
c t 1 en t 1 n t
G s T s 2 T s 1
2



G s e s
§4. 系统框图及其简化
二．系统构成方式及运算法则
1 串联连接
G s
Y s Y1 s Y s G1 s G2 s X s X s Y1 s
R s L A sin( t ) A
s2 2
三
瞬态响应指标
1 单位阶跃输入瞬态响应时的性能指标
延迟时间 td ：第一次达到稳定态的一半所需的时间。
上升时间tr ：第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的 10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）。
第三章 控制系统的时间响应分析
§1. 时间响应及其典型输入信号 一 时间响应的概念 瞬态响应 ：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响 应过程。
稳态响应：时间趋于无穷大时,系统的输出。
lim c t
t
二 典型实验输入信号
2

典型实验信号
单位阶跃信号
1 t 0 1 t 0 t 0
U Re G j V Im G j
G j U V
拉氏变换存在的条件 当 t<0 时，f (t) = 0，并在t→∞的任意有限区间上连续或分段连续； 当 t≥0 时，不等式 f t Meat成立，式中 M、a 为确定的正实数。 则在 Res>a 半平面内 f(t) 的拉氏变换一定存在，且复变函数 F(s) 为解析函 数。
三．拉氏变换性质
n
G s Gi s
i 1
2 并联连接
Y s Y1 s Y2 s G s G1 s G2 s X s X s
G s Gi s
i 1 n
3 反馈连接
闭环传递函数
Y s G s s X s 1 G s H s
e


1
2

100%
4 调整时间 ts 当允许误差范围为±2% 时 ts 4 T
4 n 3 n
当允许误差范围为±5% 时 ts 3 T
ωn↑，ts↓ ζ↑，ts↓
二 结论
二阶系统的瞬态指标由ζ和ωn共同决定。 增大无阻尼自然频率ωn，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超 调量。
§4.二阶系统的瞬态响应指标
一 欠阻尼状态时的瞬态响应指标
1 上升时间 tr ：第一次达到稳定态所需的时间。
tr d n 1 2
1 2 arctan
2 峰值时间 tp : 达到超调量的第一个峰值所需的时间。
tp d n 1 2
Td 2
d

2
n 1 2
故 tp 为阻尼振荡周期的 Td 一半，它的变化趋势与上升时间相同。
3 最大超调量 Mp ：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量 Mp 。


1 2
Mp e
p
c t p c c
Mp e



1 2
增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相 对稳定性增加，但会使系统的快速性变差。 当允许误差范围为 0.02 ～ 0.05 时调整时间在ζ=0.7 左右时最小，故称

2 0.707 2
为最佳阻尼比。
一般，综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在ζ= 0.4～0.8 的范围 内。
1 R s L 1 t s

单位斜坡信号
0 t 0 r t t t 0
R s L t 1 s2

单位加速度信号
0 r t 1 2 t 2
t0 t0

单位脉冲信号

正弦信号
0 t0 r t A sin t t 0
a 0
位移定理：
at L e f t F s a
微分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则