(2)u(t)=2cos(2t-450)时，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2
y2 (t) | ( j) || u(t) |cos(t () u(t0 ))
92 104
cos(2t tan1 2 10
45 0 )
(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)时，
2j
2j
( j)
A e j(t ())
e j(t ()) 2j
( j)
Asin(t
())
可见：在输入为正弦信号时，线性系统的稳态输出也为正弦信号，
只是输出的幅值是输入幅值的|Φ(jω)|倍，输出的初相位φ(ω)是输出
相位(ωt+φ)与输入相位(ωt)之差。于是，定义：
频率特性函数：系统在正弦信号输入下，其稳态输出与输入之比 的关于频率的复变函数，即
(
j)
y( j) u( j)
R ()
j I ()
( j) e j()
( j)
2 R
(
)
2 I
(
)
( )
tan
1
I R
() ()
5. 控制系统的频域分析
实际上，频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式，仍然 是反映系统输入/输出之间关系的数学模型。频率特性函数是关于 频率的复变函数，可以有三种表示方式：
反馈控制系统的闭环传递函数及其频率特性函数为
(s) G(s) 9 1 G(s) s 10
( j) 9 10 j
9
102
e2
j tan1 10
9
j tan1
e
10
| ( j) | e j()
102 2
反馈控制系统幅频特性函数和相频特性函数为
| ( j) | | y(t) | 9 | u(t) | 10 2 2
代数形式 指数形式 三角形式
( j) R () j I ()
( j) ( j) e j() ( j) ( j)[cos() j sin()]
➢实频特性函数：系统频率特性函数的实部ΦR(ω) ➢虚频特性函数：系统频率特性函数的虚部ΦI(ω)
5. 控制系统的频域分析
➢幅频特性函数：系统频率特性的幅值函数，即
5.控制系统的频域分析
5. 控制系统的频域分析
5.1 基本概念
控制系统的频域分析法是以传递函数为基础的一种分 析系统性能的图解方法。分析的基点是：给予线性定常 系统不同频率下的三角函数输入，系统的稳态响应输出 是相同频率的三角函数，仅是幅值和初相位不同。
频域分析法是自动控制理论的重要方法，主要特点是： (1)基于频率特性函数的系统建模和性能分析的物理意义明确； (2)利用开环频率特性的图形分析方法，形象、直观，计算量少； (3)适用于纯滞后系统和非线性系统的性能分析。
5. 控制系统的频域分析
频率响应：系统对谐波输入信号（即正弦输入信号）的稳态响应，也
称为谐波响应，或三角函数响应。
不失一般性，线性系统的频率响应可计算如下：
系统传递函数
y(s) u(s)
(s)
(s
p1 )(s
B(s) p2 )(s
pn )
(pi是系统极点)
系统输入 系统输出
u(t) Asin t
y(t)
( j)
u(t)
2 R
()
2 I
(
)
➢相频特性函数：系统频率特性的相位函数，即
(
j)
y(t0
)
u(t0
)
tan 1
I R
() ()
系统幅频特性函数的物理意义是：系统在正弦函数输入下，稳态输
出的幅值与输入幅值之比的关于频率的正实函数
系统的相频特性函数的物理意义是：系统在正弦函数输入下，稳态
u(s)
A s2 2
y(s) (s)u(s) B(s)
A
c
c
n
ci
n (s pi ) s 2 2 s j s j i1 s pi
i1
n
t
y(s) ce jt ce jt
c e jpit i
y(t) ce jt ce jt
i 1
c (s) u(s) (s j)
( j) A ,
s j
2j
ci (s)u(s)(s p )i s pi
c (s) u(s) (s j) ( j) A ,
s j
2j
5. 控制系统的频域分析
( j) ( j) e , j() ( j) ( j) e j() , () ( j)
y(t) ce jt ce jt ( j) e j() ( A) e jt ( j) e j() A e jt
y(t) y1(t) y2 (t)
5. 控制系统的频域分析
5.2 系统频率特性函数的计算与表示
系统频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式。求取系统 频率特性函数主要是计算其幅频特性函数和相频特性函数：
(1)令s=jω，由系统传递函数直接求取
例题5.2：已知系统的传递函数为
G(s)
20(s 1)(s 2) s(s 3)(s 4)
，计算其频
率特性函数。
G(s)
s幅j设 频GsG=((特sjj)ω性)s，j函2j代0((数13G入 j(j系j))((24统)jj的)) 传G2(递02j(1j0t函a)nj(1数)j(222中(032 j，12)e2有j2j)3ta((124n3211jj)t2a2n2)()(1424j22j)
因此，(1)u(t)=sin(t+300)时，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1
|
(
j)
|1
| |
y(t) u(t)
| |
9 10 2 12
9 0.9 101
()
| 1
y(t0
)
u(t0
)
tan
1
1 10
y1 (t) | ( j) || u(t) |sin(t () u(t0 )) 0.9sin(t 30 0 tan1 0.1)
输出的相位与输入相位之差的关于频率的实函数
应当指出：频率特性函数不仅定义在正弦函数输入下，实际是 定义在三角函数或谐波函数输入下。
5. 控制系统的频域分析
例题5.1：单位反馈系统的开环传递函数为
G(s) 9 s 1
计算输入信号为:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)， (3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)时的稳态输出。
()
y(t0
)
u(t0)ຫໍສະໝຸດ tan110
5. 控制系统的频域分析
对于正弦、余弦函数输入u(t)，系统的稳态输出y(t)为
y(t) | y(t) | sin(t y(t0 )) | ( j) || u(t) |sin(t () u(t0 ))
y(t) | y(t) | cos(t y(t0 )) | ( j) || u(t) |cos(t () u(t0 ))