2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。

2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

教材上所指的都是右手直角坐标系。

（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。

3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。

二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。

例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。

法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。

法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。

【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。

（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平行的方向向上（00z >）或向下（00z <）平移0||z 个单位，就可以得到点 M 000(,,)x y z 。

②以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为000||,||,||x y z 的长方体（三条棱长的位置要与000,,x y z 的符号一致），则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。

③先在x 轴上找到点10(,0,0)M x ，过1M 作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到点20(0,,0)M y ，过2M 作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到点30(0,0,)M z ，过3M 作与z垂直的平面γ，则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。

【变式与拓展】1．1在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A （3，0，0），B （0，0，-3），C （2，3，0），D （4，2，3），E （4，-2，3）题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示 例2、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F分别是111,BB B D 的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标。

解：法一：E 点在点xoy 面上的射影为B ，B （1，1，0），竖坐标为12，1(1,1,)2E ∴。

XF 在在点xoy 面上的射影为BD 的中点为G 11(,,0)22，竖坐标为1，11(,,1)22F ∴ 法二：11(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)B D B ，E 为1BB 中点，F 为11B D 的中点。

故E 的坐标为1111101(,,)(1,1,)2222+++=，F 的坐标为10101111(,,)(,,1)22222+++= 【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M 的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键。

（2）空间直角坐标系下，点1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点为121212(,,)222x x y y z z P +++ 【变式与拓展】2．1 、如图，长方体1111ABCD A BC D -中，OA=6，OC=8，15OD =，（1）写出点1111,,,A B C D 的坐标。

（2）若点G 是线段1BD 的中点，求点G 的坐标。

解：（1）1D 在z 轴上，且15OD =，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点1D 的坐标为（0，0，5）。

点1A 在平面xoy 上的射影是A ，点A 在x 轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和1D 相同，所以点1A 的坐标为（6，0，5），同理可得11(6,8,5),(0,8,5)B C 。

（2）由于1D （0，0，5），B （6，8，0），则1BD 的中点G 的坐标为（3，4，52） 2．2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，012,90AA AB AC BAC ===∠=，M 是1CC 的中点，Q 是的中点，试建立空间直角坐标系，写出B 、C 、1C 、M 、Q 解：分别以AB 、AC 、A 1A 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，（如图），则 B （2，0，0），C （0，2，0），1(0,2)CM （0，2，1），Q （1，1，0）yx2．3、已知P （2，1，3），求M 关于原点对称的点1M ，M 关于xoy 平面对称的点2M ，M 分别关于x 轴、y 轴对称的点34,M M 。

解：由于点M 与1M 关于原点对称，即原点是点M 与1M 的中点，所以1M （-2，-1，-3）； 点M 与2M 关于xoy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以2M （2，1，-3）；M 与3M 关于x 轴对称，则3M 的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为M 的相反数，即3M （2，-1，-3），同理4M （-2，1，-3）。

三、基础练习1、点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ） Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ、yOz 平面上 答案：Ｃ 解析：由于纵坐标为0，故在平面xOz 上2、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）A ．( 4, 2, 2)B ．(2, -1, 2)C ．(2, 1 , 1)D ．（4, -1, 2) 答案：C3、在空间直角坐标系中，点P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）Ａ．(0Ｂ．(0Ｃ．(10Ｄ．答案：D 解析：由于垂足在平面xOy 上，故竖坐标为04、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对 答案：B 解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于xOy 平面对称 5、已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为解析：根据中点公式，AC 的中点为G （27，4，-1），又BD 的中点也是G ， 所以D （5，13，－3）6、如图，长方体OABC D AB C -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC''于B D ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．解：点C 在y 轴上，且4OC =，故C (0,4,0)， 点B '在面xoy 的射影为B ，且竖坐标为3，故B '(3,4,3)，点P 在面xoy 的射影为矩形OABC 的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形OABC 的长和宽的一半，竖坐标和B '的一样，故P 3(,2,3)2。

四、达标训练1、在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A ．(-3,4,5) B ．(-3,- 4,5) C ．(3,-4,-5) D ．(-3,4,-5) 答案：A2、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C3、如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ，点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为 ．答案：(2,3,3)a a a4、若三棱锥P-ABC 各顶点坐标分别为P （0，0，5），A （3，0，0）， B （0，4，0），C （0，0，0），则三棱锥的体积为 。

答案：105、如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求AB 中点E 的坐标 _ _答案：(,0,)22ac6、已知一长方体1111D C B A ABCD -的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A （-2，-3，-1），求其他七个顶点的坐标。

解：B （-2，3，-1），C （2，3，-1），D （2，-3，-1），1111(2,3,1),(2,3,1),(2,3,1)(2,3,1)A B C D ----7、在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，2PD b =，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，试建立空间直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标． 解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,0,2)A a B a a C a D P b 因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，(,0,),(,,),(0,,),(0,0,)E a b F a a b G a b H b8、四棱锥ABCD V -中，底面是边长为4且060ABC ∠=的菱形，顶点V 在底面的射影是对角线的交点O ，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。